Максимальное расстояние на стандартном симплексе

[pierrevanstulov]

Пусть некоторая точка $x^*$ принадлежит стандартному симплексу ${\{\sum_{i=1}^{n}x_i=1, x_i \ge 0 \}}$. Как доказать, что максимально удаленная (в евклидовой метрике) от $x^*$ принадлежащая симплексу точка, - это один из его углов?

Пробовал фигачить через оптимизационную задачу: получил довольно громоздкую систему уравнений, описывающих необходимое условие экстремума. Теперь необходимо както доказать, что решением этой системы являются только углы, да сама точка $x^*$ (она, очевидно, будет давать минимум расстояния). Но сделать это, видимо, непросто. Можно ли както еще подступиться к этой задаче?

[_hum_]

Может, попробовать через представление точек в виде выпуклой комбинации крайних ("угловых").

[ewert]

Просто по неравенству треугольника (любую иную точку можно шевелением заведомо не приблизить). Правда, только ли в вершине -- это другой вопрос; это верно лишь, если норма -- строгая. Ну евклидова -- она да, она заведомо строгая.

[pierrevanstulov]

Сорри, но я не совсем понимаю, что вы имеете ввиду. Не могли бы вы поподробнее написать, как использовать неравенство треугольника в доказательстве. Буду очень благодарен.

[мат-ламер]

Строго выпуклая функция (квадрат расстояния) не может принимать минимум во внутренней точке выпуклого подмножества аффинного многообразия (это симплекс или любая его грань меньшей размерности).

[pierrevanstulov]

Большое спасибо! Нашел это свойство в одной методичке и просто могу сослаться на него!
Вопрос закрыт.