Группы, изоморфизм

[Hellixoid]

Здравствуйте. Помогите разобраться с задачкой:

Верно ли, что $\mathbb{C}^*/<i>\cong\mathbb{R}^*$ ?

Насколько я понимаю в фактор группе $\mathbb{C}^*/<i>$ в один смежный класс будут входить элементы: $a+bi$, $-a-bi$, $ai-b$, $b-ai$. Или в другой записи: $r(\cos{(\frac{\pi k}{2}+\varphi})+i\sin{(\frac{\pi k}{2}+\varphi}))$.
Помогите разобраться с изоморфизмом.

[lena7]

Пусть они изоморфны. Что будет соответствовать $(-1)\in \mathbb R^*$ ?

[Deggial]

Какие элементы конечного порядка есть в $\mathbb{C}^*/<i>$?

[Hellixoid]

Deggial
$i, -i, 1, -1$

[VAL]

Hellixoid в сообщении #760829 писал(а):

Deggial
$i, -i, 1, -1$

А это разные элементы?
И какой порядок имеет, например, элемент $\left[-\frac12+\frac{i\sqrt3}2\right]$ ?

[Hellixoid]

VAL
Это элементы одного смежного класса.
Элемент $\left[-\frac12+\frac{i\sqrt3}2\right]$ имеет порядок 3.
Также конечный порядок будет у элементов $\frac{1+i}{\sqrt2}$ и $\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}$ и других элементов $re^{i\varphi}$, для которых $r=1$, а $\varphi$ представим в виде рационального числа.

[VAL]

Hellixoid в сообщении #760982 писал(а):

VAL
Это элементы одного смежного класса.
Элемент $\left[-\frac12+\frac{i\sqrt3}2\right]$ имеет порядок 3.

Отлично!
А есть ли элементы порядка 3 в группе $\mathbb R^*$ ?

[Hellixoid]

VAL
Нет, следовательно они не изоморфны.

Всем спасибо за помощь.