2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследование системы ДУ
Сообщение01.09.2013, 21:24 
Здравствуйте, необходимо исследовать следующую систему:

$$
\begin{cases}
\dot{x}=ax-bxy+fy-x(x+y),&\text{ $p(x,y)$;}\\
\dot{y}=cxy-dy-y(x+y),&\text{$q(x,y)$;}\\

\end{cases}
$$

$a,b,f,c,d>0$
интересуют состояния равновесия из первого квадранта
Приравнял правые части к нулю и нашел два состояния равновесия (0,0) и (0,a).
К сожалению, дальше всё пошло не очень хорошо. Потому что поиск других состояний равновесия не так прост (много параметров и мало что упрощается) Я открыл модели Базыкина, но не нашел подходящих. Возможно требуется какая-то хитрая замена, подскажите что делать

 
 
 
 Re: Исследование системы ДУ
Сообщение01.09.2013, 21:46 
Аватара пользователя
Если я правильно понял условие вашей задачи, то вам необходимо решить систему полиномиальных уравнений?
Можно найти базис Гребнера, а там ответ уже прозрачен :mrgreen:

 
 
 
 Re: Исследование системы ДУ
Сообщение02.09.2013, 05:48 
http://dxdy.ru/topic38752.html - если качественный портрет интересует.

 
 
 
 Re: Исследование системы ДУ
Сообщение02.09.2013, 09:41 
Аватара пользователя
MOEVM в сообщении #759684 писал(а):
Приравнял правые части к нулю и нашел два состояния равновесия (0,0) и (0,a).
К сожалению, дальше всё пошло не очень хорошо. Потому что поиск других состояний равновесия не так прост
Ну а чего там такого? Второе уравнение распадается на два: $y=0$ и $y=cx-d-x$.
Подставляя $y=0$ в первое уравнение, получаем корни $x=0$ и $x=a$, что даёт решения системы $(0,0)$ и $(a,0)$ (кстати, на фоне того, что Вы пишете $p(x,y)$ и $q(x,y)$, очень нехорошо писать второе решение как $(0,a)$).
Подставляя $y=cx-d-x$ в первое уравнение, получим для $x$ квадратное уравнение. Конечно, решение получается немного громоздким, но ничего страшного не вижу. Корни вполне выписываемые.

 
 
 
 Re: Исследование системы ДУ
Сообщение02.09.2013, 09:56 
Корни то выписываемые, это не проблема, но состояния надо исследовать, и большие корни надо подставлять в линеаризованную систему, что перспектив разрешения не добавляет

 
 
 
 Re: Исследование системы ДУ
Сообщение02.09.2013, 11:34 
Аватара пользователя
Я понимаю, что их куда-то надо подставлять. Но куда деваться-то? В крайнем случае, используйте какую-нибудь систему компьютерной математики, которая умеет делать символьные вычисления.

 
 
 
 Re: Исследование системы ДУ
Сообщение02.09.2013, 20:58 
Аватара пользователя
Зачем вообще линеаризировать? Изоклинами их, изоклинами...

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group