Объёмы, параллелепипеды, взаимная простота

[sopor]

Рассмотрим в $n$-мерном пространстве целочисленные вектора $v_1,....,v_{n+1}$, координаты каждого из которых взаимно просты в совокупности. Пусть $d_i$ - объём параллелепипеда, натянутого на все эти вектора, кроме $v_i$. Предположим, что $d_{1},....,d_{n+1}$ - взаимно простые в совокупности натуральные числа. Докажите, что любые $n$ из них взаимно просты в совокупности.

[Dave]

Пусть $v_i=(x_{i 1},x_{i 2},\dots,x_{i n})$ и $X=(x_{ij})$ - матрица размера $(n+1) \times n$, составленная из этих координат. Как известно, объём $n$-мерного параллелепипеда равен, с точностью до знака, определителю матрицы $n \times n$, составленной из координат векторов, на которые он натянут.
Допустим противное, какие-то $n$ объёмов не взаимно просты в совокупности и имеют общий делитель $d$. Не ограничивая общности, можно считать, что это $d_1,d_2,\dots,d_n$. Очевидно, что если к матрице $X$ приписать справа любой её столбец, то определитель полученной матрицы размера $(n+1) \times (n+1)$ будет равен нулю. С другой стороны, этот определитель равен $\sum\limits_{i=1}^{n+1} \pm x_{ij}d_i$, где $j$ - номер приписанного столбца. Отсюда следует, что $x_{n+1 \, j}d_{n+1}=\sum\limits_{i=1}^n \pm x_{ij}d_i$ делится на $d$. Но так как $j$ - любое число от $1$ до $n$, а, по условию, координаты $x_{n+1 \, j}$ вектора $v_{n+1}$ взаимно просты в совокупности, то и $d_{n+1}$ должно делиться на $d$ - противоречие с тем, что $d_1,d_2,\dots,d_{n+1}$ взаимно просты в совокупности.