Алгебра

[netang]

Задание: Пусть $a+b=5, ab=-3$. Вычислить $(a^4+b^4)(a^3+b^3)$
Понятно что нужно представить уравнение в виде суммы или произведения из $(a+b)$ и $ab$.
Я попытался представить уравнение в виде: $a^7+a^{4}b^{3}+b^{4}a^{3}+b^7= ... =a^7+b^7-135$, но тут возникла другая проблема: $a^7+b^7$
Подскажите пожалуйста как решаются такие задачи?

[angor6]

netang
По-моему, следует сначала найти $a$ и $b.$ Имея два уравнения с двумя неизвестными, это можно сделать просто.

[nnosipov]

Принципиально то, что задачу можно решить, не находя явных значений $a$ и $b$. Попробуйте выразить $a^3+b^3$ через $u=a+b$ и $v=ab$.

[netang]

nnosipov в сообщении #758751 писал(а):

Попробуйте выразить $a^3+b^3$ через $u=a+b$ и $v=ab$.

$a^3+b^3$ я пробовал преобразовать и оно нормально преобразуется, например вот так: $a^3+b^3=u(a^2-v+b^2)$, а оставшееся выражение $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$. Но там есть кое что пострашней: $(a^4+b^4)$

[nnosipov]

netang в сообщении #758754 писал(а):

Но там есть кое что пострашней: $(a^4+b^4)$

Да уж, страшней не бывает Всё же попробуйте сами разобраться (это задача на уровне алгебры 8-го класса).

[Dan B-Yallay]

netang в сообщении #758754 писал(а):

$ (*)a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$.
Но там есть кое что пострашней: $(a^4+b^4)$

$a^2=\varphi, \ b^2 = \psi \qquad \to \qquad \varphi^2+ \psi^2=(*)... $

[angor6]

nnosipov

nnosipov в сообщении #758751 писал(а):

Принципиально то, что задачу можно решить, не находя явных значений $a$ и $b$. Попробуйте выразить $a^3+b^3$ через $u=a+b$ и $v=ab$.

Можно, конечно, но проще ли этот способ?

[Dan B-Yallay]

angor6 в сообщении #758757 писал(а):

Можно, конечно, но проще ли этот способ?

angor6
Выскажу свое личное мнение:
Похоже, что задачка этa на наработку навыков "алгебраического жонглирования".
Ваш вариант может и проще, но к этой цели не ведет.

[netang]

Спасибо всё сработало!)

[nnosipov]

angor6 в сообщении #758757 писал(а):

Можно, конечно, но проще ли этот способ?

Он более идейный. Корни находить совершенно не обязательно. Тем более что не всегда для них есть простые выражения.

Dan B-Yallay в сообщении #758760 писал(а):

Похоже, что задачка этa на наработку навыков "алгебраического жонглирования".

А также, возможно, на основную теорему о симметрических многочленах и/или рекуррентную формулу Ньютона.

[Shadow]

При больших n уже будет трудно жонглировать, так что лучше рекуррентно для суммы n-тых степеней.

[Keter]

Так это же просто возвести-подставить...
$a^2+2ab+b^2=25, a^2+b^2=31, a^4+2a^2b^2+b^4=31^2, a^4+b^4=31^2-18$
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=5(31+3)=34 \cdot 5$
Как и предложил nnosipov. Задача 8 класса там вроде даже в начале года это учат.

[Shadow]

Keter, ну да, примерно так. А если все это обощить, чтобы не расписывать для каждой степени:

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$

Получится рекуррентно заданная последовательность
$\\S_0=2\\ S_1=5\\ S_n=5S_{n-1}+3S_{n-2}$

[bot]

Shadow в сообщении #759038 писал(а):

Получится рекуррентно заданная последовательность

А смысл? Стандартное решение этой рекуррентности идёт через решение того же самого квадратного уравнения

[Dave]

bot в сообщении #759233 писал(а):

А смысл? Стандартное решение этой рекуррентности идёт через решение того же самого квадратного уравнения

Эта рекуррентность нужна не для того, чтобы её решать, а для того, чтобы прямо по ней считать $S_n$ при небольших $n$.