Оператор Гильберта на контуре с самопересечением

[Asalex]

Уважаемые форумчане, доброго Вам времени суток!

могли бы Вы помочь мне со следующим вопросом?

пусть $\Sigma$ - это контур с самопересечением в комплексной плоскости (например, можем считать что это объединение вещественной и мнимой осей $\Sigma=\mathbb{R}\cup i\mathbb{R}.$) Рассмотрим пространство функций $L_2(\Sigma).$ Вопрос состоит в следующем: можно ли ввести на этом пространстве оператор Гильберта, который на достаточно гладких и быстро убывающих при $k\to\infty$ функциях определен по формуле $(Hf)(z)=v.p.\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Sigma}\frac{f(s)ds}{s-z},$ и будет ли этот оператор ограниченным.