Математическое ожидание произведения

[amaora]

Возник такой вопрос, как можно выразить математическое ожидание произведения четырех (или $N$) случайных величин через МО этих СВ и матрицу ковариации.

$M[XYZW]$

Не подскажите с какой стороны подобратся?

Если это важно, то распределения нормальные.

Я пока понял только, что

$M[XYZW]=M[XY]M[ZW]$

в частном случае, когда $M[XZ]=M[XW]=M[YZ]=M[YW]=0$ и все МО равны так же нулю.

Спасибо.

[ewert]

amaora в сообщении #758495 писал(а):

как можно выразить математическое ожидание произведения четырех (или $N$) случайных величин через МО этих СВ и матрицу ковариации.

Никак, естественно. Вы собираетесь работать с четвёртым моментом, привлекая для этого не более чем вторые. Ну, чудес не бывает, знаете ли.

[--mS--]

Ну и кстати:

amaora в сообщении #758495 писал(а):

Я пока понял только, что

$M[XYZW]=M[XY]M[ZW]$

в частном случае, когда $M[XZ]=M[XW]=M[YZ]=M[YW]=0$ и все МО равны так же нулю.

Если совместное распределение величин $X,Y,Z,W$ не является нормальным, то это равенство неверно, вообще говоря. Пример просто строится.

(Пример)

Пусть $t_0=0, t_1, t_2, \ldots, t_7, t_8=+\infty$ таковы, что $\int\limits_{t_{i-1}}^{t_i} x^2 f(x)\,dx=1/16$, где $f(x)$ - плотность стандартного нормального распределения. Пусть вспомогательная величина $S$ имеет стандартное нормальное распределение, а зависимые попарно меж собой и с $S$ величины $X,Y,Z,W$ со стандартным нормальным распределением (и при этом попарно некоррелированные) зададим так:

$$X=\begin{cases}-S, & t_1<|S|<t_2 \text{ или } t_3<|S|<t_4 \text{ или } t_5<|S|<t_6 \text{ или } |S|>t_7, \cr S, & \text{ иначе},\end{cases}$$

$$Y=\begin{cases}-S, & t_2<|S|<t_6, \cr S, & \text{ иначе},\end{cases}$$

$$Z=\begin{cases}-S, & |S|>t_4, \cr S, & \text{ иначе},\end{cases}$$

$$W=\begin{cases}-S, & |S|<t_1 \text{ или } t_3<|S|<t_4 \text{ или } t_5<|S|<t_7, \cr S, & \text{ иначе}.\end{cases}$$

Тогда

$$XYZW=\begin{cases}-S^4, & |S|<t_4, \cr S^4, & \text{ иначе},\end{cases}$$

и математическое ожидание этой величины никак не нуль. Просто потому, что $t_4\approx 1.538172$, и $0,3055204\approx\int\limits_0^{t_4} x^4 f(x)\, dx < \int\limits_{t_4}^{\infty} x^4 f(x)\, dx$, а $\mathsf M(XYZW)$ - это удвоенная разность второго и первого интегралов.

[amaora]

Если я добавлю, что те четыре СВ получены как линейные комбинации независимых нормально распределенных СВ, этого же будет достаточно для вычисления любых моментов произведения?

Хотя тогда, только скобки остается открыть, будет четыре слагаемых. Осталось только линейные комбинации с ковариацией связать.

$P = AA^T$

Не очень красиво в обратную сторону решается, но я хотябы прав?

[--mS--]

Это лишь избавляет нас от примера выше (по крайней мере совместное распределение - многомерное нормальное), но никак не избавляет от замечания post758523.html#p758523, сделанного ewert. Просто потому, что как только распределение многомерное нормальное (невырожденное), его всегда можно воображать как линейное преобразование (и даже поворот) независимых нормальных величин. Так что это не добавляет ничего существенного к данным задачи, и без всевозможных четвёртых моментов не обойтись.

Да это и видно: уравнений у Вас существенно меньше, чем коэффициентов, а нужны именно коэффициенты. Вот если они известны - тут уж точно только скобки раскрыть.