12 натуральных чисел по кругу

[Ktina]

а) Можно ли записать по кругу 12 натуральных чисел, сумма которых равна 2013, так, чтобы из любых двух стоящих рядом чисел одно было вдвое больше другого?

б) Тот же вопрос для 10 чисел.

-- 27.08.2013, 01:14 --

в) И для 8.

-- 27.08.2013, 01:25 --

г) И для 6.

[gris]

Для двух чисел ясно: 2013 делится на 3. То есть ставим 1 и 2, а потом умножаем их на 671.
Если чисел больше, то делаем то же самое. Нет, плохая идея. Раскладывать 2013 на множители и просчитывать варианты... Ну для четырех чисел ещё можно это сделать, там два варианта. 2013 ни на 6, ни на 9 не делится. А на что делится? Разумеется, школьник-олимпиадник должен заранее разложить номер текушего года на множители, но обычный человек? Хотя признак делимости на 11 для 671 заметен. Ну тогда подбирать не так много. Для 6 чисел 4 варианта и все не годятся. Для 8 чисел уже замучаешься считать. Наверное, нужны ещё соображения (кратность 3?).
Для 10 и 12 чисел по одному варианту найдётся, но если задача все варианты найти, то тут я пас.

Вот 1340 чисел ещё можно расставить, а больше никак

Или я, как обычно, всё перепутал?

[Cash]

Для 8 чисел
$1+2+4+8+4+8+4+2=33$

[Yadryara]

Спасибо за задачу.

Более точная формулировка ответа:

Для 8 чисел
$ 61 + 122 + 244 + 488 + 244 + 488 + 244 + 122 =2013$

Для 10 чисел
$ 61 + 122 + 244 + 488 + 244 + 122 + 244 + 122 + 244 + 122 =2013$

Для 12 чисел
$ 61 + 122 + 244 + 122 + 244 + 122 + 244 + 122 + 244 + 122 + 244 + 122 =2013$

Пока как-то скучновато получается.

[gris]

Тут, наверное, лучше попробовать показать, что решение есть для всех четных от 8 до 1340. Перекрытие обеспечивается. С 24 надо уже 183 набирать. Скорее всего какое-то простое своество, связанное с представлением в двоичной системе.