задача по геометрии

[function]

Ниже я приведу условие задачи по геометрии. Она довольно нетрудная, но, как её автору, мне интересно услышать отзывы и решения.

В треугольник $ABC$ вписали сначала окружность $\omega$, касающуюся стороны $AB$ в точке $K$, потом поместили окружность $\alpha$, касающуюся $\omega$ и сторон $BC$ и $AC$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Отрезки $AL,\, BM,\, CK$ пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник $ABC-$ равнобедренный.

[Mr. X]

Ну, это уж совсем нетрудное упражнение, которое мигом решается применением теоремы Чевы и знанием длин отрезков, на которые вписанная окружность треугольника делит его стороны.

Пусть $BC=a$, $CA=b$, полупериметр треугольника $ABC$ равен $p$, расстояние от точки $L$ до точки касания вписанной окружности со стороной $BC$ обозначим через $x$.

Тогда $AK=p-a$, $KB=p-b$. По теореме Чевы отрезки $AL$, $BM$ и $CK$ пересекаются в одной точке $\Longleftrightarrow$ $(p-a)(p-b+x)=(p-b)(p-a+x)\Longleftrightarrow a=b$.

[function]

А можно ещё так:
Пусть $\omega$ касается сторон $BC$ и $AC$ соответственно в точках $I$ и $R$. Тогда $BK=BI$, $AK=AR$, $IC=RC$, $LC=MC$,как отрезки касательных. Из последних двух равенств следует, что $IL=RM$.
Теперь применим теорему Чевы к треугольнику $ABC$, имеем:
$\cfrac{AM}{MC}\cdot\cfrac{LC}{BL}\cdot\cfrac{BK}{KA}=1\Longrightarrow\cfrac{KA+RM}{MC}\cdot\cfrac{MC}{BK+RM}\cdot\cfrac{BK}{KA}=1\Longleftrightarrow BK\cdot KA+\\\\ +BK\cdot RM=KA\cdot BK+KA\cdot RM\Longleftrightarrow BK=KA,$


а это как раз и означает, что треугольник $ABC-$ равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

[function]

Недавно придумал такую задачу (лёгкая, но вкусненькая, на мой взгляд):
В треугольник вписали окружность $\omega$. Далее поместили ещё 3 окружности $\alpha, \, \beta, \, \gamma$ так, чтобы каждая из них касалась $\omega$ и двух сторон треугольника внешним образом, притом двруг с двругом не имея общих точек. Оказалось, что радиусы $\alpha, \, \beta, \, \gamma$ равны. Докажите, что данный треугольник -- равносторонний.

[ewert]

Полное решение: "Это очевидно".

Как эту очевидность формализовать -- вопрос второстепенный. Ну хотя бы так: очевидно, что $\frac{R-r}{R+r}=\sin\frac{\theta}2$ и, следовательно, отношение радиусов двух последовательно вписанных окружностей зависит от угла монотонно. Но это уже ловля блох.

[function]

А вот такая:
В правильном единичном треугольнике $ABC$ провели медиану $AA_1$, затем в $\triangle AA_1 B$ -- медиану $A_1 A_2$, в $\triangle A_1 A_2 A$ -- медиану $A_2 A_3$, в $\triangle A_1 A_2 A_3 $ -- медиану $A_3 A_4$ и т. д. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $A_{2012} A_{2013} A_1$.

[Terraniux]

function в сообщении #758415 писал(а):

А вот такая:
В правильном единичном треугольнике $ABC$ провели медиану $AA_1$, затем в $\triangle AA_1 B$ -- медиану $A_1 A_2$, в $\triangle A_1 A_2 A$ -- медиану $A_2 A_3$, в $\triangle A_1 A_2 A_3 $ -- медиану $A_3 A_4$ и т. д. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $A_{2012} A_{2013} A_1$.

(Оффтоп)

Ничего особенно сложного. Треугольники подобны, в конце - немного неудобные вычисления. Для 8-9 класса, на какой-нибудь Ломоносов сойдет.