Производная гармонической функции

[Parabellum]

Задана гармоническая ограниченная функция в ограниченной односвязной области. Что можно сказать о первых производных этой функции? Есть ли ограниченность или непрерывность? Могут ли быть вторые производные разрывными? Вроде бы ничто не мешает быть таковому.
P.S. Хотя, в силу бесконечной дифференцируемости, все производные должны быть непрерывными, и разрыв возможен только на границе. Может ли у границы производная расти неограниченно?

[Oleg Zubelevich]

наверное надо рассмотреть функцию $\mathrm{Re}\,e^{1/z}$

[Vince Diesel]

Можно взять $r^{1/2} \cos \frac{\varphi }{2}$ в верхней полуплоскости. Очевидно, сама функция непрерывна, а первые производные по $x$ и $y$ будут расти как $r^{-1/2}$ при $r\to 0$.

[Parabellum]

Oleg Zubelevich
Vince Diesel
Согласен, но только я просил ограниченную функцию.

[ewert]

Parabellum в сообщении #757227 писал(а):

Согласен, но только я просил ограниченную функцию.

А чем эта

Vince Diesel в сообщении #757106 писал(а):

$r^{1/2} \cos \frac{\varphi }{2}$

не ограниченна (в ограниченной области, естественно)?... Собственно, это просто в замаскированном виде $\operatorname{Re}\sqrt z$, для которой со всеми ограниченностями и неограниченностями всё очевидно.

[Vince Diesel]

В ограниченной области. Ну так возьмем квадрат $[-1,1]\times[0,2]$. А вообще, ограниченная гармоническая функция не обязана быть даже непрерывной вплоть до границы. Например, гармоническая в круге и принимающая на одной половине окружности значение $1$, а на другой $0$. Из позитивного можно утверждать то, что первые производные растут не быстрее $d^{-1}$, где $d$ — расстояние до границы области, вторые — не быстрее $d^{-2}$ и т.д.

[Oleg Zubelevich]

Parabellum в сообщении #757227 писал(а):

Согласен, но только я просил ограниченную функцию.

ну так подберите область в которой она ограничена

[Parabellum]

Да, что-то затупил. Спасибо!