Катушка

[Terraniux]

Катушка индуктивностью $L$ с сопротивлением обмотки $R$ подключена параллельно с резистором сопротивлением $R_1$ к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. Какое количество теплоты выделится на резисторе $R_1$ после отключения источника?

(Схема)

(Оффтоп)

Мои идеи:
1) До отключения источника через ключ шел ток $I_0=\frac{\mathcal{E}}{r+\frac{R_1R}{R_1+R}}$. Этот ток разветвляется на 2 тока $I_R$ через резистор и $I_L$через катушку, сумма которых, по закону Кирхгофа, равна $I_R+I_L=I_0$.
2) По закону Кирхгофа: $I_LR+I_RR_1=\mathcal{E}$. Отсюда: $I_L=\frac{\mathcal{E}R}{r(R_1+R)+R_1R},I_R=\frac{\mathcal{E}R_1}{r(R_1+R)+R_1R}$. Энергия катушки: $W=\frac{LI^2_L}{2}$, мощность на резисторе - $I_0^2R_0$ где $R_0=\frac{R_1R}{R_1+R}$.

3) После размыкания ключа катушка будет терять энергию, она перетечет на резисторы. По закону сохранения энергии: $W+I^2R_0=Q$. При этом, теплота на каждом из резисторов пропорциональна сопротивлению. Поэтому, $Q_1=Q\frac{R_1}{R_1+R}$. Таким образом, $Q_1=\frac{L\mathcal{E}^2 R+2\mathcal{E}^2(R_1+R)R_1R}{2\left(r(R_1+R)+R_1R\right)^2}\frac{R_1}{R_1+R}$.
Так?

[warlock66613]

Terraniux в сообщении #756959 писал(а):

о закону Кирхгофа: $I_LR+I_RR_1=\mathcal{E}$

Это для какого контура у вас так получилось? (Закон Кирхгофа записывается для замкнутого контура.)

[Terraniux]

warlock66613 в сообщении #756964 писал(а):

Terraniux в сообщении #756959 писал(а):

о закону Кирхгофа: $I_LR+I_RR_1=\mathcal{E}$

Это для какого контура у вас так получилось? (Закон Кирхгофа записывается для замкнутого контура.)

(Оффтоп)

Просто я лох

del
Не пойму тогда, как будет . Получается, должно быть $\mathcal{E}=I_RR_1=I$

[warlock66613]

Terraniux в сообщении #756968 писал(а):

Получается, должно быть $\mathcal{E}=I_RR_1=I$

Да, почти так (отсутствие $R$ в конце, я полагаю описка). Это же параллельное соединение, напряжения должны быть равны, и так оно и получается. Но вы забыли что у источника тоже есть сопротивление $r$, через которое протекает суммарный ток.

[nikvic]

warlock66613 в сообщении #756996 писал(а):

Это же параллельное соединение

После размыкания ключа получается схема, для которой верно и параллельно, и последовательно

[warlock66613]

nikvic в сообщении #756998 писал(а):

После размыкания ключа получается схема, для которой верно и параллельно, и последовательно

Но считать проще для последовательной.

[Terraniux]

warlock66613, не пойму, как найти ток $I_L$. Вы не могли бы подсказать? Как с остальными формулами? (хоть энергетический баланс?)

[warlock66613]

Terraniux в сообщении #757028 писал(а):

не пойму, как найти ток $I_L$

Из закона Кирхгофа для контура, включающего источник и катушку:
$I_LR+I_0r=\mathcal{E}$

[nikvic]

Terraniux в сообщении #757028 писал(а):

не пойму, как найти ток $I_L$

От Вас это не требуют. Попробуйте найти отношение энергий, выделившихся в виде тепла на двух резисторах.

[Terraniux]

warlock66613 в сообщении #757032 писал(а):

Terraniux в сообщении #757028 писал(а):

не пойму, как найти ток $I_L$

Из закона Кирхгофа для контура, включающего источник и катушку:
$I_LR+I_0r=\mathcal{E}$

Ток через источник - $I_0$, поэтому понял.

nikvic, $\frac{R_1}{R}$

[warlock66613]

Terraniux в сообщении #756959 писал(а):

$W+I^2R_0=Q$

Вот этой формулы я не понимаю. Откуда она берётся? Пользоваться законом сохранения энергии надо так. Есть момент времени 1 (у нас это до размыкания ключа). Записываем энергию в этот момент. Затем повторяем операцию для некоторого момента времени 2 (здесь это момент, когда резисторы рассеяли всё что могли в окружающее пространство). Записывем энергию в этот момент. Приравниваем энергии.

[nikvic]

Terraniux в сообщении #757041 писал(а):

nikvic, $\frac{R_1}{R}$

Остаётся вспомнить, сколько энергии сидело ""в индуктивности.

[Terraniux]

warlock66613 в сообщении #757043 писал(а):

Terraniux в сообщении #756959 писал(а):

$W+I^2R_0=Q$

Вот этой формулы я не понимаю. Откуда она берётся? Пользоваться законом сохранения энергии надо так. Есть момент времени 1 (у нас это до размыкания ключа). Записываем энергию в этот момент. Затем повторяем операцию для некоторого момента времени 2 (здесь это момент, когда резисторы рассеяли всё что могли в окружающее пространство). Записывем энергию в этот момент. Приравниваем энергии.

Здесь $Q$ - общее тепло на 2-х резисторах. А $I_0^2R_0$ - это неправильно.
Вторая версия: $W=Q$, $Q_1=\frac{R_1}{R_1+R}Q$
nikvic, $Q_1=\frac{R_1}{R_1+R}\frac{LI_L^2}{2}=\frac{R_1}{R_1+R}\frac{L\mathcal{E}^2(R_1+R)^2r^2}{2R^2\left(r(R_1+R)+R_1R\right)^2}$

[warlock66613]

По-моему теперь всё правильно.

[EEater]

Так как для постоянного тока сопротивление индуктивности нулевое, то ток через нее равен $I={\cal{E} }/ r$.
Энергия, запасенная в индуктивности: $W=LI^2 /2$, это и есть ответ.