Неравенство

[Terraniux]

1. Для натуральных $x_0<x_1<\ldots<x_n$ верно неравенство $\frac{\sqrt{x_1-x_0}}{x_1}+\frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2}+\ldots+\frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n}<1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n^2}$. Докажите.
2. Для положительных чисел $a,b,c$ верно неравенство $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$.

[Mr. X]

2. Пусть $S=a+b+c$. Тогда $\sqrt\frac{a}{b+c}=\frac{a}{\sqrt{a(S-a)}}\ge\frac{2a}{S}$. Сложив три таких неравенства получим, что левая часть $\ge 2$. Неравенство строгое, т.к. обращение в равенство равносильно условию $a=b=c=S/2$, которое не выполняется для положительных чисел.

[denisart]

Terraniux в сообщении #756585 писал(а):

1. Для натуральных $x_0<x_1<\ldots<x_n$ верно неравенство $\frac{\sqrt{x_1-x_0}}{x_1}+\frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2}+\ldots+\frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n}<1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n^2}$. Докажите.

(Оффтоп)

По индукции.

[arqady]

Terraniux, что это за занятие у Вас - перепечатывать древние неравенства из Кванта? Лучше б подбросили нам что-нибудь новенькое.