Как давать школьникам комплексные числа

[Sonic86]

Просто интересно, что школьник должен знать, чтобы ему можно было объяснить, что можно делать с комплексными числами, и чтобы школьник смог их освоить.
У нас в школе их не было. Потому мне неясно как.
У нас нашел только такую тему: topic25406.html, но там - для студентов.
Сам повспоминал, пришел к выводу, что объяснить что-либо про них невозможно
Мотивировать вводом решения кубических уравнений, а заодно так дать понять, что они существуют - сложно слишком (обычно кубические уравнения неинтересны никому). Мотивировать вводом решения квадратных уравнений - как-то не особо мотивируется, наверное. Доказать их существование не получится. Для описания комплексной плоскости надо хотя бы векторы знать, да и синусы-косинусы нужны, ну еще для формулы Муавра это все нужно. Геометрические приложения не показать. Доказать, что каждый многочлен там имеет корень тоже не выйдет. Показать формулу Эйлера (и свести тригонометрию к ней) тоже сложно - экспоненту надо знать и ряды.
Ничего осмысленного не нагуглил, кроме этого: http://eek.diary.ru/p117285614.htm?oam#more1 (там есть ссылка на книгу, там про комплексные числа в геометрии)
В общем, ничего не получается Разве что в 11-м классе давать. Как быть?

[Oleg Zubelevich]

Sonic86 в сообщении #756434 писал(а):

Как давать школьникам комплексные числа

как векторы на плоскости. Вводим таблицу умножения на базисных векторах, проверяем, что полученная операция обладает хорошими свойствами

[la1488]

Мой опыт показывает, что если вводить комплексные числа как векторы, то школьники начинают путаться между одним и другим. Многие начинают думать, что комплексные числа и векторы — это одно и то же, так что непонятно, зачем два разных термина. Другие бездумно переносят на векторы какие-нибудь свойства и операции, характерные для комплексных чисел, и наоборот.

Я обычно объяснял комплексные числа как очередную ступень в иерархии уже известных множеств: $\mathbb{N} \in \mathbb{Z} \in \mathbb{Q} \in \mathbb{R} \in \ldots$. Мы вкратце повторяли, чем каждое множество «лучше» своего предшественника в этом ряду, и из этих соображений строили множество, которое было бы «лучше», чем $\mathbb{R}$.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #756434 писал(а):

Геометрические приложения не показать.

Почему же не показать? Вполне можно. Да и книжек хватает, где про это почитать можно.

[мат-ламер]

Куча олимпиадных задач про многочлены используют возможность разложения любого многочлена на множители первой степени.

[mihailm]

Олимпиадные задачи школьникам в массе не интересны и даже непонятны, а самим олимпиадникам они вводятся походя и обычно довольно специфически.
Тема несложная - начинают обычно с алгебраической формы, то как предлагает их вводить школьникам Oleg Zubelevich это чушь полная от недостатка опыта (кстати взятая из факультативного курса Шарыгина, но Игорь Федорович там ее вводил чтобы скучно не было)

[Sonic86]

Oleg Zubelevich в сообщении #756438 писал(а):

как векторы на плоскости. Вводим таблицу умножения на базисных векторах, проверяем, что полученная операция обладает хорошими свойствами

В принципе можно Только до алгебраических свойств потом ходить далеко.

nnosipov в сообщении #756465 писал(а):

Почему же не показать? Вполне можно. Да и книжек хватает, где про это почитать можно.

А не подскажете литературу?
Я посмотрел по ссылке выше Понарина - там предполагается, что человек уже знает, что такое комплексные числа, причем - алгебраически.
Посмотрел Яглома http://ilib.mccme.ru/djvu/yaglom/compl_num.htm - мне понравилось.

В итоге, следует признать вопрос глупым: ясно, что школьник должен знать сначала векторы и тригонометрию. Т.е. школьник должен быть навороченным, или его надо наворотить.

mihailm в сообщении #756489 писал(а):

Тема несложная - начинают обычно с алгебраической формы

а формулу Муавра и тригонометрическое представление дают? Т.е. после 10-го класса? Или там школьники уже навороченные?

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #756489 писал(а):

Игорь Федорович там ее вводил чтобы скучно не было

[Oleg Zubelevich]

mihailm в сообщении #756489 писал(а):

Олимпиадные задачи школьникам в массе не интересны и даже непонятны, а самим олимпиадникам они вводятся походя и обычно довольно специфически.
Тема несложная - начинают обычно с алгебраической формы, то как предлагает их вводить школьникам Oleg Zubelevich это чушь полная от недостатка опыта (кстати взятая из факультативного курса Шарыгина, но Игорь Федорович там ее вводил чтобы скучно не было)

при определении алгебр очень часто используют таблицы умножения, например, алгебру кватернионов так почти всегда определяют. Вы, очевидно, кроме Шарыгина не читали ничего.

Sonic86 в сообщении #756527 писал(а):

Только до алгебраических свойств потом ходить далеко.

в каком смысле "далеко"? По-моему наоборот. Очень удобно расписывать $(a+ib)(u+iv)$, подставляя $ii=-1$. Из коммутативности умножения на базисных векторах следует коммутативность на любых векторах. И ассоциативность тоже самое.

la1488 в сообщении #756462 писал(а):

Многие начинают думать, что комплексные числа и векторы — это одно и то же, так что непонятно, зачем два разных термина

а комплексные числа, ведь, и есть векторы. Векторы на плоскости на которых определена операция умножения известным способом. Это и надо объяснить

-- Чт авг 22, 2013 10:53:18 --

А еще я думаю, что весьма не помешает объяснить геометрический смысл чисел $\mathrm{Re}\,(z_1z_2)$ и $\mathrm{Im}\,(z_1z_2)$ в терминах векторов $z_1,z_2$

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #756542 писал(а):

а комплексные числа, ведь, и есть векторы

Если повернуть систему координат, вектор не изменится, а его координаты и соответсвующее комплексное число изменятся. Поэтому векторы и комплексные числа - всё-таки разные вещи. Иначе говоря, комплексное число - это вообще не геометрический объект.

[Oleg Zubelevich]

warlock66613 в сообщении #756645 писал(а):

Если повернуть систему координат, вектор не изменится, а его координаты и соответсвующее комплексное число изменятся

это вам только так кажется

-- Чт авг 22, 2013 17:26:47 --

warlock66613 в сообщении #756645 писал(а):

Поэтому векторы и комплексные числа - всё-таки разные вещи. Иначе говоря, комплексное число - это вообще не геометрический объект.

это сильно

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #756654 писал(а):

это вам только так кажется

Возможно, но школьникам тоже так будет казаться.

[Oleg Zubelevich]

Комплексные числа можно вводить даже так. И, возможно, даже, это не самы плохой способ.

Рассмотрим евкидову плоскость $\mathbb{R}^2$. Фиксируем точку $O$ на этой плоскости и выпустим из точки $O$ луч. Дальше будем рассматривать пространство векторов торчащих из точки $O$. (Кому не нравится слово "торчать" может посмотреть ветку про аффинные и линейные пространства)

Каждый ненулевой вектор $z$ можно задавать его модулем $|z|$ и углом отсчитываемым от луча против частовой стрелки до вектора. Угол обозначим $\arg z$, естественно $\pmod{ 2\pi}$

Произведение векторов определим следующим образом.
1) для любого $z$ положим $z\cdot 0=0\cdot z=0$
2) произведением векторов $z_1$ и $z_2,\quad z_1,z_2\ne 0$ называется вектор $z_1z_2$ определенный следующими условиями $|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2$
(Последнее равенство понимается в смысле сравнимости по указанному выше модулю)
Алгебраические свойства умножения, тригонометрическая форма комплекусного числа, формула Муавра и много другое после этого просто очевидны. А заодно, кстати, не возникает ощущения, что определение умножения сняли с потолка.

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #756669 писал(а):

Комплексные числа можно вводить даже так.

Так их вводить конечно можно, но всё-таки было бы хорошо, чтобы учащиеся понимали, что комплексные числа могут существовать сами по себе, без геометрической или другой интерпретации. И что это именно числа.

[Oleg Zubelevich]

Вам очень хочется про расширение поля $\mathbb{R}$ поговорить? Обязательно нужно поговорить, да.

warlock66613 в сообщении #756674 писал(а):

комплексные числа могут существовать сами по себе, без геометрической или другой интерпретации

могут, только в таком виде они почти никому не нужны. Основным потребителем комплексных чисел является не алгебра, а анализ.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #756677 писал(а):

Вам очень хочется про расширение поля $\mathbb{R}$ поговорить? Обязательно нужно поговорить, да.

А вам очень хочется, чтобы в разделе «Вопросы преподавания» только вы имели право говорить?

Oleg Zubelevich в сообщении #756677 писал(а):

могут, только в таком виде они почти никому не нужны.

И этот человек недавно потешался над моим неграмотным упоминанием полей многочленов.