Играющие мальчики

[sopor]

Несколько мальчиков раскидывают на морского - кому водить в игре. Для этого каждый из них выкидывает на пальцах число от 0 до 5. Потом все числа складываются, и сумма отсчитывается по кругу, начиная с заранее выбранного мальчика (ему соответствует 0). Водить будет тот, на ком остановится счет. При каком числе мальчиков вероятность водить у каждого мальчика одинакова?

[worm2]

Чтобы вероятности были одинаковые, необходимо, чтобы число вариантов $6^n$ делилось на $n$.
При 2, 3 и 6 одинаковая. При 6 это легко видеть, при 2 и особенно 3 надо считать.
При 4 посчитал — неодинаковая.
При > 6 понятно, что ничего пока не понятно. Не нашёл ни одного такого $n$. 8 и 12 не подходят. Видимо, только 2, 3 и 6.

-- Ср авг 21, 2013 12:46:53 --

Крайне любопытным выглядит также вопрос: при каком $n$ максимальна "несправедливость" — отношение максимальной вероятности к минимальной.

[Shadow]

Нестрого, возможно и неверно: Ставим n точек на окружности. После каждого выбора очередного мальчика делаем (по часовой стрелке) от 0 до 5 шагов равновероятно. Для $n>6$. После $n-1$-го хода, шесть последовательных точек будут иметь вероятность $\frac 1 6$, остальные 0. Если существуют 2 соседние точки с разной вероятностью после $n-1$ ходов, то и соответствующие шестерки будут иметь разную вероятность после n ходов, что не должно быть. Значит, методом спуска, все точки должны иметь равную вероятность еще до первого хода. Тоесть, n является делителем 6.

-- 21.08.2013, 19:18 --

неверно. в шестерку можно попасть и от других точек.

[Shadow]

Пусть $P(k,j)$ - вероятность попадания в т. j после к ходов. И если для некоторого k все они равны, т.к
$P(k,j)=\frac 1 6 \sum\limits_{i=0}^{5} P(k-1,j-i)$

$P(k,j-1)=\frac 1 6 \sum\limits_{i=1}^{6} P(k-1,j-i)$

то $P(k-1,j)=P(k-1,j-6)$
Тоесть равные по модулю 6 точки должны иметь равную вероятность на $k-1$ -ом ходу.
В любой момент вероятности попасть в точку $0,1,2,3,4,5 \pmod 6$ равны.
$p_0+p_6+p_{12}\cdots=p_1+p_7+p_{13}\cdots =\cdots$

И если на $k-1$ - ом ходу

$\\p_0=p_6=p_{12}\cdots\\ p_1=p_7=p_{13}\cdots\\ \cdots$

то при равное число слагаемых вероятности равны.
Значит если число точек кратное 6, то все вероятности на $k-1$ ходу равны.
Если $n=\pm 1 \pmod 6$ тоже.

[namhel]

Вообще-то, пока ничего не сказано как мальчики выбирают сколько выбросить пальцев, задачу нельзя считать корректной. Можно, например, считать, что выбрасывание пальцев от нуля до пяти -- равновероятны (и независимы для различных мальчиков). Если этого не сказано, то кто-то мог бы с вероятностью 90% выбрасывать ноль и 10% -- один.

Кстати, если мальчиков много, последние могут подумать, что если я выброшу ноль, то велик шанс, что до меня даже ход не дойдет. В итоге последние выбрасывают нули.

Если при случайном выбрасывании получается не равновероятное распределение, тот у кого больше всего вероятность проиграть, может выбрасывать случайно и всегда добавлять один. Таким образом, он сместит на своего соседа наибольшую вероятность проигрыша.

В общем, если мальчики начнут думать, может получится все что угодно.

[Shadow]

namhel в сообщении #756770 писал(а):

тот у кого больше всего вероятность проиграть, может выбрасывать случайно и всегда добавлять один.

Умно:) А следующий гад нарочно вычитает один.

namhel в сообщении #756770 писал(а):

В общем, если мальчики начнут думать, может получится все что угодно.

И если не начнут думать тоже. Так что лучше не думать.
По теме:

Shadow в сообщении #756544 писал(а):

В любой момент вероятности попасть в точку $0,1,2,3,4,5 \pmod 6$ равны

Только если число точек делится на 6.

Пустъ вероятность попасть на $k-1$ ом ходу в точку 0 равна p. Двигаясь по кругу отмечаем все точки (через 6), где вероятность тоже должна быть p. Если число точек взаимнопростое с 6, то мы отметим все точки.
Если $n=6t$ см. выше.
При $n=6t\pm 2$ все четные точки имеют вероятность p, нечетные-q и проводим аналогичные рассуждения по модулю 2. Получается $p=q$
При $n=6t+3$ - по модулю 3.

Значит, все вероятности долны быть равны и для $k-1$ ходов, а значит и для 1 хода.
$n=1,2,3,6$

[sopor]

Как вам такое, более олимпиадное (как мне кажется) рассуждение?
Рассмотрим многочлен $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^n$. Если мальчиков $n$, то количество благоприятных исходов для каждого мальчика суть сумма коэффициентов сего многочлена по классу вычетов $\mod n$. Теперь подставим в многочлен корень энной степени из 1. Заметим, что если получится 0, тогда все суммы коэффициентов равны, т.е благоприятных исходов равное количество для каждого мальчика. Посмотрев на многочлен, видим, что 0 получается только при $n=2, 3, 6$. Еще есть тривиальный случай $n=1$. Конечно, это рассуждение неполное, кое-что тут надо доказать более формально.