Помогите найти ошибку в решении (нормировка волновой функци)

[Raynor]

Решаю задачу. Результат решения с ответом не сходится.

Задача:
Волновые функции задаются на единичной сфере в сферических координатах выражениями

$$\Psi_{\pm}(\theta,\varphi)=A_{\pm}\sin\theta e^{\pm i \varphi}$$

Вычислить нормировочные константы $A_{\pm}$
Ответ: $A_{\pm}=\sqrt{3/8\pi}$
Мое решение:
Вначале решаем случай "+".
Условие нормировки (интегрирование по всей сфере):

$$\intop |A_+ \sin \theta e^{i\varphi}|^2d\Omega=1$$

Элемент телесного угла в сферических координатах:

$$d\Omega=\sin \theta d\theta d\varphi, 0 \le \theta \le \pi, 0 \le \varphi \le 2\pi$$

Получается, что нужно посчитать кратный интеграл:

$$|A_+|^2 \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta e^{2i\varphi} \sin \theta d\theta=1$$

Вначале считаем внутренний интеграл:

$$e^{2i\varphi} \int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta d\theta=e^{2i\varphi} \int_{0}^{\pi} \sin\theta \frac{1-\cos{2\theta}}{2} d\theta=$$

$$=e^{2i\varphi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta-\sin\theta \cos{2\theta}}{2}d\theta=$$

$$=\frac{e^{2i\varphi}}{2}\left(\int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin{3\theta} + \sin{(-\theta)}}{2} d\theta \right)=$$

$$=\frac{e^{2i\varphi}}{2}\left(-\cos\theta \rvert_{0}^{\pi} - \frac12 \left(\int_{0}^{\pi} \sin{3\theta} d\theta - \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \right) \right)=$$

$$=\frac{e^{2i\varphi}}{2}\left(1+1 - \frac12 \left(\frac13\int_{0}^{\pi} \sin{3\theta} d3\theta - \left(-\cos\theta \rvert_{0}^{\pi} \right) \right) \right)=$$

$$=\frac{e^{2i\varphi}}{2}\left(1+1 - \frac12 \left(\frac13\left(-\cos{3\theta} \rvert_{0}^{\pi} \right) - \left(1+1\right) \right) \right)=$$

$$=\frac{e^{2i\varphi}}{2}\left(2 - \frac12 \left(\frac13\left(1+1\right) - 2 \right) \right)=\frac{e^{2i\varphi}4}{3}$$

Теперь подставляем полученный результат во внешний кратный интеграл:

$$|A_+|^2 \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{2i\varphi}4}{3} d\varphi=|A_+|^2 \frac43 \int_{0}^{2\pi} e^{2i\varphi} d\varphi=$$

$$=|A_+|^2 \frac43 \int_{0}^{2\pi} \left(\cos{2\varphi}+i\sin{2\varphi}\right) d\varphi=$$

$$=|A_+|^2 \frac43 \left( \int_{0}^{2\pi} \cos{2\varphi}d\varphi+i\int_{0}^{2\pi}\sin{2\varphi}d\varphi \right)=$$

$$=|A_+|^2 \frac43 \left( \frac12 \int_{0}^{2\pi} \cos{2\varphi}d2\varphi+i\frac12\int_{0}^{2\pi}\sin{2\varphi}d2\varphi \right)=$$

$$=|A_+|^2 \frac43 \left( \frac12 \left(\ \sin{2\varphi} \rvert_{0}^{2\pi} \right) - \frac{i}{2} \left( \cos{2\varphi} \rvert_{0}^{2\pi} \right) \right)=$$

$$=|A_+|^2 \frac43 \left( \frac12 \left( 0-0 \right) - \frac{i}{2} \left( 1-1 \right) \right)=0$$

Получается $1=0$, очевидно, где-то ошибка. Я проверял и перепроверял решение. Помогите, пожалуйста, найти ошибку.

[Ms-dos4]

А кто модуль комплексной функции брать будет? Куда он у вас делся? Ведь $\[\left| {{e^{i\varphi }}} \right| = 1\]$
Тогда у вас получается
$\[{A^2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2\pi = 1 \Rightarrow A = \sqrt {\frac{3}{{8\pi }}} \]$

[Raynor]

Большое спасибо!