упрощение дифференциального уравнения 4 порядка

[sergei1961]

Как упростить дифур 4 порядка

$$ y''''+a(x)y''+b(x)y=0 $$

при помощи замен функции и переменной к двучленному виду:

$$ z''''(t)+q(t)z(t)=0, $$

то есть убрать слагаемое со второй производной, не породив новых?

[Ms-dos4]

С чего вы взяли, что такое возможно в общем случае?

[sergei1961]

Для второго порядка можно заменами в дифференциальном трёхчлене убрать первую производную. Здесь не знаю, спрашиваю по аналогии. Не знаю ответа.

[Ms-dos4]

А, всё, вспомнил. Да, такое возможно, причём для ЛДУ n-ой степени заменой

$\[y = zu\]$

$\[u = {e^{ - \frac{1}{n}\int {\frac{{{a_{n - 1}}(x)}}{{{a_n}(x)}}dx} }}\]$

$\[{a_n}(x)\]$ - коэф. при n-ой производной.

[sergei1961]

Так в уравнении 4 порядка можно 3-ю производную убрать. А здесь надо вторую, и чтобы не появились 3-го и 1-го.

[Ms-dos4]

sergei1961
Нет, это в общем случае невозможно. Во всяком случая я такого ни в одном справочнике/учебнике не видел. Можете глянуть Камке или Зайцева Полянина, но вроде бы там такого не было.

[ewert]

Даже если бы это и было возможно -- зачем?... Без второй производной оно ничуть не проще, чем со второй.

[sergei1961]

Отвечу зачем: например, спектральные свойства более простого двучленного дифоператора, к которому хочу привести, описаны подробно в книге Левитан-Саргсян. Для подобного трёхчленного хотелось бы проверить, не сводится ли задача к уже известной.

[EvgenB]

Если под $y(x),a(x),b(x),z(t),q(t)$ понимать формальные степенные ряды, то уравнение

$$D^4y(x)+a(x)D^2y(x)+b(x)y(x)=0$$

нелязя привести к виду

$$D^4z(t)+q(t)z(t)=0.$$

Это исключено.

[sergei1961]

Как раз в теории операторов преобразования доказывается, что если при старших производных единицы и коэффициенты аналитические, то все такие дифоператоры одного порядка эквивалентны. То есть можно не только в такой двучленный, а даже просто в 4-ую производную перевести. При помощи некоторого интегрального оператора Вольтерра хорощего 2 рода с некоторым ядром. Просто всё уже намного сложнее, когда коэффициенты просто гладкие.

Тут хотелось бы конкретного-свести спектральную задачу для такого оператора к уже разобранной ранее. Замена помогла бы, если она есть. Или разложение на два множителя второго порядка.

[VanD]

Просто в четвёртую производную точечной заменой не перевести, у этих уравнений алгебры операторов симметрии с разными размерностями. С другой стороны, у исходного и желаемого такого противоречия не возникает.