2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Прямая сумма двух ненулевых идеалов
Сообщение08.05.2007, 16:45 
Заслуженный участник


31/12/05
1406
Уже третий день не могу решить задачу из Dummit&Foote:

Доказать, что аффинное алгебраическое множество $V$ связно в топологии Зарисского тогда и только тогда, когда $k[V]$ не является прямой суммой двух ненулевых идеалов.

Необходимость вроде почти доказал:

Пусть $k[V]=I\oplus J$, то есть $I+J=k[V]$ и $I\cap J=0$$IJ=0$). Тогда $\mathcal{Z}(I)\cup\mathcal{Z}(J)=\mathcal{Z}(IJ)=V$ и $\mathcal{Z}(I)\cap\mathcal{Z}(J)=\mathcal{Z}(I\cup J)=\emptyset$, то есть $\mathcal{Z}(I)$ и $\mathcal{Z}(J)$ являются разбиением $V$ на два замкнутых множества. Правда, нужно, чтобы они были непустыми, а про алгебраическую замкнутость $k$ в условии ничего не сказано.

Теперь достаточность.

Пусть $X$ и $Y$ - разбиение $V$ на два замкнутых множества, то есть $X\cup Y=V$ и $X\cap Y=\emptyset$. Тогда $\mathcal{I}(X)\cap\mathcal{I}(Y)=\mathcal{I}(X\cup Y)=0. Но как доказать, что $\mathcal{I}(X)+\mathcal{I}(Y)=k[V]? И верно ли это вообще?

Или надо еще использовать, что $k[V]=k[A^n]/\mathcal{I}(V)$? Но как?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2007, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
$\mathcal Z(\mathcal I(X)+\mathcal I(Y)) = \mathcal Z(\mathcal I(X))\cap\mathcal Z(\mathcal I(Y))=X\cap Y=\varnothing$. Далее, опять нужна алгебраическая замкнутость $k$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2007, 22:43 
Заслуженный участник


31/12/05
1406
lofar писал(а):
Далее, опять нужна алгебраическая замкнутость $k$.
То есть мне достаточно считать, что ее забыли в условии, и успокоиться?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group