Прямая сумма двух ненулевых идеалов

[tolstopuz]

Уже третий день не могу решить задачу из Dummit&Foote:

Доказать, что аффинное алгебраическое множество $V$ связно в топологии Зарисского тогда и только тогда, когда $k[V]$ не является прямой суммой двух ненулевых идеалов.

Необходимость вроде почти доказал:

Пусть $k[V]=I\oplus J$, то есть $I+J=k[V]$ и $I\cap J=0$ (и $IJ=0$). Тогда $\mathcal{Z}(I)\cup\mathcal{Z}(J)=\mathcal{Z}(IJ)=V$ и $\mathcal{Z}(I)\cap\mathcal{Z}(J)=\mathcal{Z}(I\cup J)=\emptyset$, то есть $\mathcal{Z}(I)$ и $\mathcal{Z}(J)$ являются разбиением $V$ на два замкнутых множества. Правда, нужно, чтобы они были непустыми, а про алгебраическую замкнутость $k$ в условии ничего не сказано.

Теперь достаточность.

Пусть $X$ и $Y$ - разбиение $V$ на два замкнутых множества, то есть $X\cup Y=V$ и $X\cap Y=\emptyset$. Тогда $\mathcal{I}(X)\cap\mathcal{I}(Y)=\mathcal{I}(X\cup Y)=0. Но как доказать, что $\mathcal{I}(X)+\mathcal{I}(Y)=k[V]? И верно ли это вообще?

Или надо еще использовать, что $k[V]=k[A^n]/\mathcal{I}(V)$? Но как?

[lofar]

$\mathcal Z(\mathcal I(X)+\mathcal I(Y)) = \mathcal Z(\mathcal I(X))\cap\mathcal Z(\mathcal I(Y))=X\cap Y=\varnothing$. Далее, опять нужна алгебраическая замкнутость $k$.

[tolstopuz]

lofar писал(а):

Далее, опять нужна алгебраическая замкнутость $k$.

То есть мне достаточно считать, что ее забыли в условии, и успокоиться?