Семь переменных - это не страшно

[arqady]

Пусть $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ и $g$ положительны. Обозначим их сумму за $S$.
Известно, что $\frac{a}{S-a}=\frac{b}{S-b}+\frac{c}{S-c}+\frac{d}{S-d}+\frac{e}{S-e}+\frac{f}{S-f}+\frac{g}{S-g}$.
Докажите, что

$$\frac{a}{S-a}\geq\frac{2}{3}$$

При росте числа переменных точная нижняя оценка стремится к $\frac{\sqrt5-1}{2}$.

[Dave]

Применяя неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим, получаем, что в случае $n$ переменных точная нижняя оценка равна

$$\sqrt {t_n^2+1} - t_n \, ,$$

где $t_n=\frac {n-2} {2(n-1)}$.

[arqady]

Коши-Буняковским можно ещё.