Алгебра.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Вот такая задача : пусть $A$ - коммутативное кольцо с $1 \neq 0$, $S$ - его мультипликативное подмножество, не содержащее $0$. Пусть, далее, $\mathfrak{b}$ - максимальный элемент в множестве идеалов кольца $A$, пересечение которых с $S$ пусто. Показать, что $\mathfrak{b}$ - простой.
Я попытался доказать, но не вышло. Хотел от противного. Пусть $\mathfrak{b}$ не просто, тогда $A / \mathfrak{b}$ не является областью целостности. Тогда есть $x \in A / \mathfrak{b}$ $\neq$ $0$ и $y \in A / \mathfrak{b}$ $\neq$ $0$ такие, что $xy = 0$. Крутил, вертел, но не получилось. Я не пойму для чего нужна максимальность $\mathfrak{b}$. Если есть у кого какие идеи, то делитесь

[apriv]

Давайте возьмем $x$ и $y$ не из $\mathfrak b$, попытаемся добавить каждый из них по очереди к $\mathfrak b$, полученные идеалы будут пересекаться с $S$, потом предположим, что $xy\in\mathfrak b$ и получим противоречие.