2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 10:11 
С конусом когда-то я посылал, кажется, в Квант.
Неподвижный круговой конус с жёсткими стенками и вертикальной осью расположен вершиной вниз. Угол раствора $\alpha$.
Маленький шарик, соприкасающийся со стенкой, имеет начальный вектор скорости $v_0$, по касательной, горизонтально.
Найти максимальную скорость шарика.

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:11 
Так, значит надо найти условный максимум функции $T(r,\dot r,\dot\phi)$ при ограничениях
$$T+V=h,\quad p_\phi=k$$
$$T=\frac{m}{2}(\dot r^2 a^2+\dot r^2+r^2\dot\phi^2),\quad V=mgra,\quad a=\ctg\alpha,\quad p_\phi=mr^2\dot\phi$$
Для вычисления констант первых интегралов $h,k$ еще надо знать начальную высоту шарика, или что там в процессе вычислений оно как-то уничтожится?

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:25 
В задаче не требуется найти закон движения. А просто, исходя из законов сохранения энергии и момента импульса, определяется максимальная (либо минимальная!) скорость, ну и заодно - в каких пределах по высоте будет оставаться шарик всё время движения. Кстати, к принципиальным усложнениям не приводит отказ от предположения о горизонтальности начальной скорости.
Интуитивно ясно, что движение строго периодическое по высоте, и что точки достижения экстремальных высот равномерно "вращаются". Но тут уже школьной математикой вряд ли обойдёшься.

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:32 
так и я об этом, просто a priori непонятно, как можно это сделать, не зная констант первых интегралов

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:35 
Аватара пользователя
dovlato в сообщении #754042 писал(а):
Найти максимальную скорость шарика.

"Горизонтальная" скорость обратно пропорциональна "горизонтальному" радиусу, его квадрат плюс квадрат скорости (со множителями) - константа. Квадратное уравнение, один из корней которого известен?

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:38 
Не скажу)). Ну вернитесь вы наконец ненадолго в школу, отвлекитесь от привычного вузовского тупизма)).
Да, чуть не забыл: начальная высота (или, если угодно, начальное расст. от оси), конечно, задана.

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:38 
dovlato в сообщении #754056 писал(а):
Да, чуть не забыл: начальная высота (или, если угодно, начальное расстояние), конечно, задана.

вот про это я и спрашивал. все больше вопросов нет

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:44 
Зато у меня появился. Уравнение получилось кубическое. Вай-вай.. А впрочем, один корень известен $v_0$, так что до квадратного всё же доводится.

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:49 
Аватара пользователя
dovlato в сообщении #754058 писал(а):
Зато у меня появился. Уравнение получилось кубическое. Вай-вай.. Надо было сначала решить, а потом писать.

Действительно, кубическое.
Но один-то корень есть - в условии горизонтальности :wink:

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:50 
nikvic в сообщении #754054 писал(а):
его квадрат плюс квадрат скорости (со множителями) - константа.

и это после того, как уже первые интегралы выписаны :facepalm:

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:55 
Наверное, задача всё ещё решаема в школе, если позволить конусу с известным отношением своей массы к массе шарика - скользить по горизонтали, сохраняя вертикальность оси.

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 11:57 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #754060 писал(а):
и это после того, как уже первые интегралы выписаны

Чукча не читатель :shock:

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 12:00 
dovlato в сообщении #754065 писал(а):
Наверное, задача всё ещё решаема в школе, если позволить конусу с известным отношением своей массы к массе шарика - скользить по горизонтали, сохраняя вертикальность оси.
формально-да, а фактически, не знаю о каких таких школах Вы говорите

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 12:01 
Oleg Zubelevich в сообщении #754060 писал(а):
nikvic в сообщении #754054 писал(а):
его квадрат плюс квадрат скорости (со множителями) - константа.

и это после того, как уже первые интегралы выписаны :facepalm:

Конец лета. Пора уже вспоминать, как они рисуются..красивые такие.

-- Пн авг 12, 2013 13:01:54 --

Oleg Zubelevich в сообщении #754068 писал(а):
dovlato в сообщении #754065 писал(а):
Наверное, задача всё ещё решаема в школе, если позволить конусу с известным отношением своей массы к массе шарика - скользить по горизонтали, сохраняя вертикальность оси.
формально-да, а фактически, не знаю о каких таких школах Вы говорите

Ну.. в ЗФТШ)) Когда-то студентом там честно работал. Интересно даже.

 
 
 
 Re: Конус с шариком
Сообщение12.08.2013, 12:02 
ну тогда nikvic выпишите пожалуйста формулу соответствующую этой фразе:
nikvic в сообщении #754054 писал(а):
"Горизонтальная" скорость обратно пропорциональна "горизонтальному" радиусу, его квадрат плюс квадрат скорости (со множителями) - константа.


-- Пн авг 12, 2013 12:04:59 --

dovlato
или Вы выпишите , если понимаете что он имел в виду

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group