Упоительные числа

[Ktina]

Назовём натуральное число упоительным, если его десятичная запись образуется путём отбрасывания последней (LSD) цифры десятичной записи квадрата натурального числа, большего 3.
Например, числа 3 и 102 являются упоительными, так как числа 36 и 1024 являются квадратами.
Более простыми словами -- если у квадрата отбросить последнюю цифру, получится упоительное число.

Верно ли, что для любого натурального $n$ существует упоительное число $k$, десятичная запись которого оканчивается на $n$?

[Oleg Zubelevich]

Ktina в сообщении #753662 писал(а):

Назовём натуральное число упоительным

Она — бесстыдно упоительна
И унизительно горда.

навеяло из Александра Блока

Туда манит перстами алыми
И дачников волнует зря
Над запылёнными вокзалами
Недостижимая заря.

Там, где скучаю так мучительно,
Ко мне приходит иногда
Она — бесстыдно упоительна
И унизительно горда.

За толстыми пивными кружками,
За сном привычной суеты
Сквозит вуаль, покрытый мушками,
Глаза и мелкие черты.

Чего же жду я, очарованный
Моей счастливою звездой,
И оглушённый и взволнованный
Вином, зарёю и тобой?

Вздыхая древними поверьями,
Шелками чёрными шумна,
Под шлемом с траурными перьями
И ты вином оглушена?

Средь этой пошлости таинственной,
Скажи, что делать мне с тобой —
Недостижимой и единственной,
Как вечер дымно-голубой?

[Ktina]

Oleg Zubelevich, я Вам на ушко шепну:

(Оффтоп)

Там в одну строчку решается

[Oleg Zubelevich]

Ktina в сообщении #753745 писал(а):

Oleg Zubelevich, я Вам на ушко шепну:

я читаю вам стихи, а вы мне шепчете на ушко... Что они о нас подумают..

[Ktina]

Oleg Zubelevich в сообщении #753748 писал(а):

я читаю вам стихи, а вы мне шепчете на ушко... Что они о нас подумают..

(Оффтоп)

Да стихи-то чудные, спасибо! Я вообще Блока обожаю.

[Ktina]

Сегодня вечером напишу решение.

[Edward_Tur]

На $101$ упоительное число не оканчивается. $(mod 16)$

[Dave]

Edward_Tur в сообщении #754061 писал(а):

На $101$ упоительное число не оканчивается. $(mod 16)$

+$(mod 5)$ не забывайте.

[Ktina]

У меня немножко иначе.
Упоительное число не может оканчиваться на 111.

Предположим противное.
Тогда упоительное число $\dots 111$ могло быть получено только из квадрата вида $k^2=\dots 1116$.
Но тогда $k^2-4=(k+2)(k-2)$ имеет вид $\dots 1112$, то есть делится на 8, но не на 16.
Но число $(k+2)(k-2)$ либо вообще не делится на 8 (если $k-2$ не делится на 4), либо делится на 16.
Пришли к противоречию.

P. S.
Можно доказать, что среди трёхзначных чисел только числа, дающие остаток 5 или 7 при делении на 8 не могут служить окончаниями упоительных чисел.

[Dave]

Ktina в сообщении #754402 писал(а):

Можно доказать, что среди трёхзначных чисел только числа, дающие остаток 5 или 7 при делении на 8 не могут служить окончаниями упоительных чисел.

А $666$ может?

[Ktina]

Dave в сообщении #754525 писал(а):

Ktina в сообщении #754402 писал(а):

Можно доказать, что среди трёхзначных чисел только числа, дающие остаток 5 или 7 при делении на 8 не могут служить окончаниями упоительных чисел.

А $666$ может?

По идее, должно мочь. Будем искать пример...

[Ktina]

Пардон, я бестолковая!
Конечно же, не может.
6660 быть не может, так как делится на 10, но не делится на 100.
6661, 6669 тоже, так как даёт остаток 5 при делении на 8.
6662, 6663, 6667, 6668 -- квадраты на эти цифры не кончаются.
6664 делится на 8, но не делится на 16.
6665 делится на 5, но не делится на 25.
6666 делится на 2, но не делится на 4.