Неопределенный интеграл от 1/(A+exp(x))/x

[bme]

Помогите найти неопределенный интеграл
$\int \frac{dx}{x}\frac{1}{A+\exp(x)},\quad A >0$,
давно с ним бьюсь.

Maple 15.0 с ним не справился, в справочниках (Градштейн-Рыжик 63г, Брычков-Прудников 86г, Смолянский 67г) ничего похожего на подобные интегралы я не нашел, методы интегрирования по частям и попытки найти данный интеграл путем дифференцирования по параметру похожих интегралов, зависящих от параметра - ничего не дали.

Заранее неизвестно, выражается ли данный интеграл через элементарные функции. К специальным тоже пока не удается его свести..

[Otta]

А зачем он Вам нужен? В смысле, исходная задача какова?

[bme]

Otta в сообщении #753077 писал(а):

А зачем он Вам нужен? В смысле, исходная задача какова?

В исходной задаче берется интеграл
$\int_0^\infty A(p) p dp \int_{\beta_1(p)}^{\beta_2(p)} \frac{dx}{x}\frac{1}{A(p)+\exp(x)},$
где
$A(p) = \exp[-p^2/2+a+c], \;\beta_1(p)=c-b p, \; \beta_2(p)=c+b p$,
числа $a$ и $b$ - действительные константы, $c$ - вообще говоря, комплексная константа.

Внешний интеграл может быть взят численно, но внутренний нужно вычислить аналитически. Учитывая, что пределы интегрирования у него - фактически произвольные комплексные числа - задача сводится к отысканию неопределенного интеграла, который я написал выше.

[Aritaborian]

Похоже на то, что аналитически он никак не выражается. Mathematica и Альфа с ним тоже не справились.

[bme]

Aritaborian в сообщении #753216 писал(а):

Похоже на то, что аналитически он никак не выражается. Mathematica и Альфа с ним тоже не справились.

Интересно, какая версия Математики, и что за программа такая - Альфа ? (ни разу не слышал..).

Ясно, что системы компьютерной алгебры пока слабее возможностей человека. Что касается этого интеграла, то есть статья, в которой утверждается, что "после некоторых длинных преобразований" действительную часть исходного двойного интеграла, записанного в виде

$\displaystyle \int_0^\infty A(p) p dp \int_{-p}^{p} \frac{dx}{x+\delta}\frac{1}{A(p)+\exp(bx+b^2/2)}, \quad A(p) = \exp[-p^2/2+a],$

можно записать как

$\displaystyle\int_0^\infty \frac{A(p)}{1+A(p)} p dp \ln\left|\frac{b+\delta+p}{b+\delta-p}\right|,$

а мнимую часть - как

$ \ln\left[1 + \exp\Bigl( a - 1/2(\delta-b)^2\Bigr)\right],$

где $a,b,\delta$ - константы, причем $\delta$ содержит бесконечно малую мнимую часть (остальные константы - действительны).

Как авторы статьи получили этот результат для действительной части - ума не приложу.
У меня вообще получается, что внутренний интеграл зависит от других параметров, как он зависит именно от этой комбинации: $b+\delta \pm p$ - непонятно, тем более непонятно, как он берется аналитически "после некоторых длинных выкладок"...

(Моя задача - вывести аналогичную формулу для случая, когда $\delta=\delta_1 + i\delta_2$,
т.е. содержит конечную мнимую часть. Можно конечно просто подставить в ответ этих авторов
$\delta=\delta_1 + i\delta_2$ и затем разделить действительную и мнимую части, но во-первых, это не строго, а во-вторых, хотелось бы понимать, как получен результат)

[Aritaborian]

Mathematica у меня самой последней версии, 9.0.1. Да, и она не всё на свете умеет. Бывают интегралы, которые пока и ей не по зубам.
Альфой же фамильярно кличут веб-сервис Wolfram|Alpha — computational knowledge engine, как называют его создатели (как вы догадались, это те же люди, что создали Mathematica: Стивен Вольфрам и его компания). Чертовски полезная вещь. Чем я буду путано объяснять, что она из себя представляет, зайдите да посмотрите ;-)
Что касается статьи, замечу лишь, что авторы всё же не смогли выразить интеграл явно.

[bme]

Aritaborian в сообщении #754386 писал(а):

Mathematica у меня самой последней версии, 9.0.1. Да, и она не всё на свете умеет. Бывают интегралы, которые пока и ей не по зубам.

Попутный вопрос: как считаете, Maple (у меня версия 15.0), которым я пользуюсь (ибо знаком с ним и привык, да и синтаксис у него проще, чем у Математики) - сильно проигрывает Математике в плане возможностей символьных вычислений?

Aritaborian в сообщении #754386 писал(а):

Что касается статьи, замечу лишь, что авторы всё же не смогли выразить интеграл явно.

Но смогли видимо показать, что

$\displaystyle \Re \int_{-p}^{p} \frac{dx}{x+\delta}\frac{1}{A(p)+\exp(bx+b^2/2)} =\frac{1}{1+A(p)} \ln\left|\frac{b+\delta+p}{b+\delta-p}\right|+f_0(p),$

$ A(p) = \exp[-p^2/2+a],$

где функция $f_0$ такова, что

$\int_0^\infty f_0(p) p dp =0,$ а $\delta$ имеет бесконечно малую положительную мнимую часть.
Этого вполне достаточно. Вопрос только в том, как это можно доказать...

[Ms-dos4]

bme
15-я версия проигрывает, 17-я примерно наравне. Есть там некоторые различия в аналитическом интегрировании/решении ДУ. Причём иногда мне больше нравится версия Mathematica, а иногда Maple (естественно решения то тождественные, но иногда сразу и не скажешь).

И статью пожалуйста приведите. Хотелось бы взглянуть.

[Aritaborian]

bme в сообщении #754396 писал(а):

Maple (у меня версия 15.0), которым я пользуюсь (ибо знаком с ним и привык, да и синтаксис у него проще, чем у Математики) - сильно проигрывает Математике в плане возможностей символьных вычислений?

Да, сильно. Впрочем, это зависит от ваших потребностей. А синтаксис у него может казаться более простым, но это видимость, только лишь. Потратьте немного времени, и вы поймёте, что язык Mathematica является гораздо более стройным, элегантным, цельным и последовательным.

(Оффтоп)

Нет, я не сотрудник отдела маркетинга Wolfram Research ;-)

[Ms-dos4]

Aritaborian

(Оффтоп)

Да нормальный синтаксис, что у Maple, что у Mathematica. Тут больше вопрос вкуса. Хотя я тоже в основном пользуюсь "Математикой". По "силе" пакеты в принципе приблизительно равны. Если быть точнее - Maple 17 чуть лучше в аналитическом решении ДУ и интегральных уравнений, зато Mathematica 9 лучше упрощает выражения и решает разностные уравнения. Так же математика чуть лучше в плане теорвера.

[bme]

Ms-dos4 в сообщении #754397 писал(а):

bme
15-я версия проигрывает, 17-я примерно наравне. Есть там некоторые различия в аналитическом интегрировании/решении ДУ. Причём иногда мне больше нравится версия Mathematica, а иногда Maple (естественно решения то тождественные, но иногда сразу и не скажешь).

Короче говоря, особого смысла переучиваться с Maple на Математику - нет?

Ms-dos4 в сообщении #754397 писал(а):

bme
И статью пожалуйста приведите. Хотелось бы взглянуть.

Вот эта статья: Phys. Rev. A 29, 1471–1480 (1984),
Dielectric response of quantum plasmas in thermal equilibrium,
http://pra.aps.org/abstract/PRA/v29/i3/p1471_1.
Интеграл этот приведен без вывода в самом начале статьи. Дальше рассматриваются только предельные случаи.

[Ms-dos4]

Цитата:

Короче говоря, особого смысла переучиваться с Maple на Математику - нет?

Нет. Просто поставьте себе 17-ю версию(тем более это верно, если вы - физик).

Статью посмотрю. Жаль с английским я не дружу(
Up. Ага, статью так просто посмотреть нельзя. Это же не arXiv...

[Aritaborian]

(Ms-dos4)

Mathematica также явно выигрывает в плане графических возможностей, импорта-экспорта данных в различных форматах etc. Впрочем, тут не место этим спорам ;-)

bme в сообщении #754400 писал(а):

Короче говоря, особого смысла переучиваться с Maple на Математику - нет?

А я бы сказал, что есть ;-D