2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 10:16 
Линейное преобразование $\mathcal{A}$ пространства $\mathbb{R}^2$ задано в базисе $e_1=(5,5),\ e_2=(10,0)$ матрицей $A=\left( \begin{array}{cc} -0,2 & 1,6 \\ 
-0,8 & 1,4 \end{array} \right)$. Является ли $\mathcal{A}$ ортогональным? Симметрическим?

(Оффтоп)

Заблудился в 2-х соснах. :-(


-- 07.08.2013, 14:08 --

С вопросами нет вопросов :D . А вот нужно ли переходить к базису $i,j?$ Что делать с первой частью задания?

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 16:10 
Аватара пользователя
zychnyy в сообщении #752800 писал(а):
А вот нужно ли переходить к базису $i,j?$

Не надо. Ортогональность равносильна двум равенствам $|Ae_i|=|e_i|$, симметричность равносильна двум равенствам $(Ae_i,e_j)=(Ae_j,e_i)$

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 18:02 
alcoholist в сообщении #752911 писал(а):
Ортогональность равносильна двум равенствам $|Ae_i|=|e_i|$,

Нет, конечно; Вы перепутали с тождеством $|Au|\equiv|u|$. А равносильна она трём равенствам $(Ae_i,Ae_j)=(e_i,e_j)$.

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 18:06 
alcoholist хорошо. Привожу дословный ответ к задаче:
$\mathcal{A}$ ортогонально, так как ${A}_{\vec i,\vec j}=\left( \begin{array}{cc} 0,6 & -0,8 \\ 
0,8 & 0,6 \end{array} \right)$ - ортогональная матрица. Симметрическим не является.
Откуда взялась эта матрица? Я не могу на нее "выйти".

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 18:37 
Аватара пользователя
zychnyy в сообщении #752952 писал(а):
alcoholist хорошо. Привожу дословный ответ к задаче:
$\mathcal{A}$ ортогонально, так как ${A}_{\vec i,\vec j}=\left( \begin{array}{cc} 0,6 & -0,8 \\ 
0,8 & 0,6 \end{array} \right)$ - ортогональная матрица. Симметрическим не является.
Откуда взялась эта матрица? Я не могу на нее "выйти".

М.б. это матрица преобразования в базисе $(1, 0), \;\; (0, 1)$?

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 18:39 
TOTAL я это понимаю, но у меня такой не получается. Вроде все по технологии делаю...

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 18:53 
TOTAL в сообщении #752960 писал(а):
М.б. это матрица преобразования в базисе $(1, 0), \;\; (0, 1)$?

По логике ответа она должна быть именно той матрицей. Но она ею точно не является. Считать лень, но действие исходной матрицы на вектор $e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ (в новых координатах) даёт $\begin{pmatrix}-0.2\\-0.8\end{pmatrix}$ в новых координатах и, соответственно, $\begin{pmatrix}-9\\-1\end{pmatrix}$ в старых. О какой тогда ортогональности может идти речь?...

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 19:11 
ewert т.е. в ответе опечатка? Тогда ни ортогональности, ни симметричности в помине нет. У меня получилось, что ${A}_{\vec i,\vec j}=\left( \begin{array}{cc} \frac{11}{5} & -4 \\ 
\frac{4}{5} & -1 \end{array} \right)$.

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 19:16 
Аватара пользователя
zychnyy в сообщении #752983 писал(а):
т.е. в ответе опечатка?
Или в условии опечатка.

 
 
 
 Re: Ортогональность и симметричность линейного преобразования
Сообщение07.08.2013, 20:26 
alcoholist,ewert,TOTAL ну, спасибо. Теперь хоть все на свои места встало. :-)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group