Вопрос о существовании функции

[Pastamak]

Существует ли функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такая, что $f(f(x)) \neq x$ для всех $x \in \mathbb{R}$

и для любого $a \in \mathbb{R}$ существует последовательность $\{x_n\}$ такая, что

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = f(a) \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} f(x_n) = a \, ? $$

[Sunwind977]

Можно рассмотреть следующую функцию
$f(x) = \begin{cases} x+1, x\in \mathbb{Q} \\ x-1, x\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \end{cases}$.
Для $a\in \mathbb{Q}$ подойдёт последовательность $\{x_n\} \subset \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ так что $x_n \rightarrow f(a)$, а для $a\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ подойдёт $\{x_n\} \subset \mathbb{Q}$ так что $x_n \rightarrow f(a)$