Вопрос про минимизацию математического ожидания

[pierrevanstulov]

Такая проблемка. Пусть плотность вероятности случайной величины $\xi$ зависит от параметра $a \in A$. Пусть $a^*$ минимизирует математическое ожидание $\xi$. Пусть функция $g(x)$ строго возрастает на всей области определения. Верно ли, что $a^*$ минимизирует также и математическое ожидание $g(\xi)$?

[ИСН]

нет

[pierrevanstulov]

Контрпример в студию.

[ИСН]

Его долго строить, тяжело тащить, и в дверь не пролезет. Давайте пока словами. Пусть величина сосредоточена на положительных значениях, а функция $g(x)=x^2.$ Тогда $M(g(\xi))=M^2(\xi)+D(\xi)$. Первое слагаемое по условию имеет минимум в нашем $a^*$. Где имеет минимум второе слагаемое? Там же? Как оно вообще связано с первым? Э...

[pierrevanstulov]

Убедили, спасибо!

-- Вт авг 06, 2013 21:18:19 --

А можно еще вопрос. Как вам кажется, справедливо ли, что:

$M[ \xi _1] \le M[a_1\xi_1+a_2\xi_2+a_3\xi_3]$, при условии, что \xi_i \ge 0, M[ \xi _1 ] \le M[ \xi _i ] $, а конец вектора $(a1, a2, a3)^T$ распределен равномерно на поверхности единичного симплекса?

[--mS--]

Разложите слева $\xi_1=a_1\xi_1+ a_2\xi_1+a_3\xi_1$ и оцените почленно. Если, конечно, вектор $\vec a$ от $\vec \xi$ не зависит.