Задача оптимизации

[Taurendil]

Здравствуйте. Мне попалась задача, решение которой я не могу нигде найти. Надеюсь получить помощь здесь)
Задача:
Потребительская корзина состоит из двух товаров, $Q_1$ и $Q_2$, количество товара. Цены на товары равны $P_1=1$ и $P_2=2$, доход равен $I = 10$. Функция полезности потребительской корзины равна $U(Q_1,Q_2) = Q_2 + 2lnQ_2$. Рассмотрим задачу оптимизации
$\max U(Q_1,Q_2)$
$P_1Q_1 + P_2Q_2 = I$
1. Дайте экономическую интерпретацию задаче оптимизации.
2. Найдите решение задачи оптимизации. Проверьте достаточные условия экстремума.
3. Дайте интерпретацию множителя Лагранжа

Проблема в том, что нам в лекциях давали еще и издержки (при совершенной конкуренции на рынке), а функцию прибыли мы составляли сами и получалось что-то типа $P=R-C=P_1 Q_1 + P_2Q_2 - 2Q^2_1 - Q_1Q_2 - Q^2_2$

Записываю функцию Лагранжа:
$L=U- \lambda$ (P_1Q_1+P_2Q_2-I)=U+\lambda(I-P_1Q_1-P_2Q_2)
Необходимые условия экстремума:

$\frac{dU}{dQ_1}-\lambda P_1=0$
$\frac{dU}{dQ_2}-\lambda P_2=0$
$P_1Q_1+P_2Q_2=I$

Первые две строчки можно записать как:

$\frac{\frac{dU}{dQ_1}}{P_1}$=$\frac{\frac{dU}{dQ_2}}{P_2}$ = \lambda

Эти условия интерпретируются так: в ситуации, когда полезность максимальна, отношения предельной полезности продукта к цене продукта одинаково для обоих продуктов. Это отношение в этом случае и даст значение $\lambda$ (интерпретация множителя)

[Taurendil]

В условии опечатка. Вместо $U (Q_1,Q_2)=Q_2+2lnQ_2$ должно быть $U (Q_1,Q_2)=Q_1+2lnQ_2$

[Scholnik]

Я методом множителей Лагранжа не владею,но покажу обычное решение через производную(может быть как-то поможет)
Бюджетное ограничение:$P_1Q_1+P_2Q_2=I;Q_1+2Q_2=10;Q_1=10-2Q_2$
$U=Q_1+2lnQ_2=10-2Q_2+2lnQ_2\longrightarrow \underset{Q_2}{max}$
$U'(Q_2)=-2+\frac{2}{Q_2}=0;Q_2=1$
$U''(Q_2)=\frac{-2}{Q_2^2}<0$,значит был найден действительно максимум полезности
$Q_1=8$
Экономическое объяснение примерно такое:в оптиуме у потребителя предельная норма замещения равна отношению цен.Смысл таков:предельная норма замещения показывает,в какой пропорции потребитель готов менять товары,а отношение цен-в какой пропорции рынок меняет товары.Понятно,что в оптиуме эти пропорции должны быть равны,потому что иначе можно обменять один товар на другой с выгодой для потребителя.