Решение функциональной оптимизационной краевой задачи

[_nobody]

Добрый вечер.

Есть задача: пусть есть векторное поле $\vec{v}\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$, некоторая область $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$ и функция $f^\ast \colon (\mathbb{R}^n\setminus \Omega\cup\partial\Omega)\to \mathbb{R}$. Нужно найти функцию $f\colon (\Omega\cup\partial\Omega)\to \mathbb{R}$, являющуюся решением оптимизационной задачи:
$\int\limits_\Omega$ \left\|\nabla f-\vec{v}\right\|^2 ds\to\min\limits_f{} при условии $f\bigm|_{\partial\Omega}=f^\ast\bigm|_{\partial\Omega}$

Решением данной задачи является решение уравнения Пуассона $\Delta f=\operatorname{div}{\vec{v}}$ при граничных условиях Дирихле $f\bigm|_{\partial\Omega}=f^\ast\bigm|_{\partial\Omega}$.

Вопрос: как это доказывается? И все ли так гладко или требуются дополнительные условия для истинности такого вывода (например, тип нормы, ограничения на область, способ интегрирования и прочее)? С такими вещами работает, наверное, математическая физика, поэтому интересны книги, где подобные оптимизационные задачи решаются.

Заранее благодарен.

-- Пн авг 05, 2013 23:47:10 --

Ясно. Все же здесь используется необходимое условие эктремума с применением производной Фреше для случая вариационного исчисления:
$\frac{dF}{df}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f_x}=0$.
В моем случае $F(x,f,f_x)=\left\|\nabla f-\vec{v}\right\|=\sum\limits_{i=1}^n \left(f_{x_i}-v_i\right)$, т.е. уже есть зависимость от типа нормы — используется 2-норма.

$\frac{dF}{df}=0$
$\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f_x}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{d}{dx_i} \frac{\partial F}{\partial f_{x_i}}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{d}{dx_i} 2(f_{x_i}-v_i)=2\left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}-\frac{\partial v_i}{\partial x_i}\right)$,
откуда и получается уравнение Пуассона
$2\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}-\frac{\partial v_i}{\partial x_i}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial v_i}{\partial x_i}\quad\Leftrightarrow\quad\Delta f=\operatorname{div} \vec{v}$

[_nobody]

Ошибочка: конечно же, вместо $\frac{dF}{df}$ должно быть $\frac{\partial F}{\partial f}$ и случайно пропущен один знак суммы при выводе.

Тема закрыта.