Существует ли функция со свойством $f(n)=f^{(n)}(a)$?

[lena7]

Существует ли ненулевая вещественная гладкая функция со свойством

$$f(n)=f^{(n)}(a),\quad\forall n\in\mathbb N$$

для некоторого $a\in \mathbb R$, $a\neq 0$?

[cool.phenon]

Есть такая же тема на math.stackexсhange.com

[lena7]

Я оттуда и взяла.

[ewert]

А почему ей не существовать? Фиксация значений в целочисленных точках не препятствует ничему остальному.

[g______d]

Более того, верно, что любую функцию можно сделать такой, прибавляя бесконечно гладкую функцию с носителем в сколь угодно малой окрестности точки $a$. Это следует из того, что для любой последовательности чисел $\{a_n\}$ существует гладкая функция со свойством $f^{(n)}(a)=a_n$.