Корректно ли составлено ОДУ? №3

[Bach]

Решил задачи к главе I выпуска VIII ("Дифференциальные уравнения") сборника "Математика в техническом университете" изд. МГТУ им. Баумана. Всего там три задачи. Во всех трех требуется составить уравнения определенных траекторий. Хотя мне и удалось получить уравнения во всех задачах, но уверенности в правильности решения почему-то нет. Чтобы не перегружать топик, решения каждой задачи привожу (схематично) в отдельном топике с повторением этого вводного абзаца. Проверьте, пожалуйста, правильно ли они решены и, если нет, укажите на ошибки. Спасибо.

Задача 3
Условие
Свет распространяется в атмосфере с переменной плотностью $\rho = \rho_0e^{-kh}$ ($\rho_0$ и $k$ - постоянные, а $h$ - высота над поверхностью Земли) согласно закону преломления Снеллиуса $n\sin{\alpha} = \operatorname{const}$, где $n = a\rho$ - коэффициент преломления ($a = \operatorname{const}$), $\alpha$ - угол между направлением луча и вертикалью. Составить ОДУ траектории луча, испускаемого под углом $\alpha_0$ к вертикали точечным источником света, находящимся на высоте $H$ (кривизну поверхности Земли не учитывать).

Мое решение
Расположим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось $Ox$ проходила по поверхности Земли (которую в данной задаче считаем плоскостью), точечный источник света находился бы на оси $Oy$ (в области положительных значений), а траектория луча лежала бы в плоскости системы координат в первом квадранте.
Обозначим траекторию луча через $y(x)$. Понятно, что в любой точке $M (x, y)$ траектории луча направление луча в этой точке есть направление касательной в этой точке к траектории. Тогда производная в этой точке равна

$$y' = -\ctg\,\alpha$$

Учитывая, что по условию задачи $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, имеем

$$\sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{1 + \ctg^2\,\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (y')^2}}$$

Тогда

$$n\sin{\alpha} = \frac{a\rho_0e^{-ky}}{\sqrt{1 + (y')^2}} = \operatorname{const}$$

Дифференцируя последнее равенство в этой цепочке, получаем требуемое ОДУ:

$$-a\rho_0e^{-ky}y'\frac{k + k(y')^2 + y''}{(1 + (y')^2)^\frac{3}{2}} = 0$$