Концентрационный элемент - вечный двигатель?

[Tookser]

Задача из "Основ общей химии" Дикерсона, Грея, Хейта по теме "координационные элементы".

Рассмотрим «вечный двигатель», построенный при помощи концентрационного элемента.

а) Два медных электрода погружены в растворы сульфата меди одинаковой концентрации и соединены так, чтобы получился концентрационный элемент. Первоначально этот элемент не имеет напряжения. Допустим, что каждый электрод содержит больше меди, чем ее имеется в каждом растворе.
б) Раствор А разбавляют до тех пор, пока концентрация ионов меди в нем не уменьшится вдвое; в результате концентрационный элемент приобретает напряжение E. Действующий элемент выполняет полезную работу над своим окружением до тех пор, пока не уравняются концентрации двух растворов и напряжение элемента снова не упадет до нуля.
в) Раствор Б разбавляют до тех пор, пока концентрация ионов меди в нем не уменьшится вдвое; в результате концентрационный элемент снова создает такое же напряжение E, как и прежде, но с противоположным знаком. Элемент снова приводится в действие и выполняет полезную работу до выравнивания концентраций растворов А и Б.
г) Стадии (б) и (в) поочередно повторяются; сначала один раствор, а потом другой поочередно разбавляются вдвое, после того как на предыдущей стадии происходит выравнивание концентраций ионов меди. Поскольку концентрации растворов после разбавления вдвое никогда не достигают нулевого значения, описанный процесс можно продолжать до бесконечности и таким образом бесконечно получать полезную работу от концентрационного элемента. Более того, действующий элемент облегчает нашу задачу, так как он повышает концентрацию только что разбавленного раствора.

Укажите, что неправильно в этой цепи рассуждений.

По уравнению Нернста E=E_0+\frac{RT}{nF} \ln(\frac{a_1}{a_2}) вроде все так и получается...

[ИСН]

У Вас раствора делается всё больше и больше.

[Tookser]

Да, Вы правы. Только мне непонятно, откуда здесь получится противоречие. В уравнении Нернста учавствует только отношение концентраций (вернее, активностей, но допустим раствор достаточно разбавлен), а не сами концентрации. Тогда каждый цикл, в котором перед разбавлением было одинаковое количество воды в каждом сосуде (каждый второй), будет идентичен остальным в любой момент (по концентрации):
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\frac{Q+q}{V}}{\frac{Q-q}{2V}}= 2 \frac{Q+q}{Q-q}
где $Q$ - исходный заряд всех положительных ионов в одном из сосудов, а $q$ - перетекший заряд. Получается, что напряжение в каждый момент тоже совпадает.

[ИСН]

Какого противоречия Вы хотите? У Вас двигатель, который работает на воде: берёт её и не отдаёт назад. При таких раскладах ничто ему не запрещает быть "вечным". Я когда-нибудь, допустим, построю термоядерный реактор - так он будет обладать теми же (качественно) свойствами: брать воду, давать энергию.
Фактически при очень разбавленных растворах само установление равновесия будет происходить очень медленно. С точки зрения электрических цепей, у элемента будет неприлично большое внутреннее сопротивление. На нём не поедешь.
Но это другая история.

[Tookser]

Вы правы. Спасибо.

[Евгений Машеров]

Энергия, получаемая после каждого разбавления, уменьшается, как геометрическая прогрессия. А сумма убывающей геометрической прогрессии конечна.

[Евгений Машеров]

Вообще, суть парадокса в том, что смешивают энергию и напряжение (многие вечнодвигательщики этим грешат). Напряжение одинаковое, оно зависит от отношения концентраций, а количество вещества, которое перетекает, с каждым разбавлением уменьшается, соответственно и ток, и совершённая работа.

[Tookser]

Евгений Машеров, энергия здесь точно есть, после каждого разбавления одна и та же.

[Евгений Машеров]

Речь идёт об энергии, снимаемой с этого элемента. На каждом шаге она пропорциональна произведению напряжения (одинакового, как следует из формулы Нернста) на количество перешедшего при выравнивании концентрации вещества. А оно постоянно уменьшается.

[Tookser]

Количество перешедшего за шаг вещества не уменьшается.

Допустим, что объемы растворов сначала одинаковые, количество ионов меди по $\nu$. Тогда после разбавления II-го раствора в два раза в него перейдет $\frac {\nu}{3}$. Разбавим первый сосуд, концентрации снова выровняются, $\frac {\nu}{3}$ перейдет обратно. Теперь мы находимся в той же ситуации, что и вначале (концентрации, правда, уже уменьшились, но нам важно отношение концентраций, так что все в порядке). При повторном разбавлении II-го сосуда в него снова переходит $\frac {\nu}{3}$ и так далее.
При неравных начальных объемах все то же самое, только числа другие.

Понятно также, что энергия за шаг будет меньше, чем начальное напряжение на перешедший заряд положительных ионов - напряжение спадает в процессе.

P.S. В первом сообщении темы небольшая ошибка - задача по теме "Концентрационные элементы", а не как у меня.