f(x,y) непр. по каждой перем. и разрывная в любой точке R2

[gspit]

помогите пожалуйста решить: Можно ли привести пример функции f(x, y), непрерывной по каждой переменной в отдельности, но разрывной для любой точки (x, y) из R2.

Я подозреваю, что нельзя, но как это доказать не знаю. Помогите пожалуйста...

[Brukvalub]

Обсуждалось на Форуме (просмотрите архив сообщений RIPa).

[RIP]

Здесь я формулировал утверждение без док-ва. Больше я вроде нигде не встречал его. Вот набросок док-ва.
Пусть функция $f(x,y)\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ непрерывна по каждой переменной. Для $\varnothing\ne A\subset\mathbb{R}^2$ будем обозначать $\mathop{\rm osc}\limits_Af:=\sup\limits_Af-\inf\limits_Af$. Тогда множество точек разрыва функции $f$ есть $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_{1/n}$, где $A_\varepsilon:=\{z\in\mathbb{R}^2\mid\forall\delta>0\quad\mathop{\rm osc}\limits_{B_{\delta}(z)}f>4\varepsilon\}$. (Здесь $B_{\delta}(z)~-$ это круг радиуса $\delta$ с центром в точке $z$.) Если доказать, что каждое из $A_\varepsilon$ нигде не плотно ($\varepsilon>0$), то получим, что множество точек разрыва является тощим (первой категории по Бэру), в частности не может совпадать со всем $\mathbb{R}^2$. Нигде не плотность вытекает из двух утверждений:
1) $A_\varepsilon$ замкнуто. Это очевидно.
2) $A_\varepsilon$ не содержит никакого невырожденного прямоугольника. Строгое док-во этого утверждения мне лень расписывать, но идея такая. Допустим обратное, пусть $[a;b]\times[c;d]\subset A_\varepsilon$. Рассмотрим точки $z_1=(\frac{a+b}3;\frac{c+d}2)$ и $z_2=(\frac{2(a+b)}3;\frac{c+d}2)$. Поскольку $f$ непрерывна по $y$, то для всех точек $z=(\frac{a+b}3;y)$, близких к $z_1$, будет $|f(z)-f(z_1)|<\varepsilon$. Поскольку $z_2\in A_\varepsilon$, то найдётся сколь угодно близкая к $z_2$ точка $z_3$ такая, что $|f(z_3)-f(z_1)|>2\varepsilon$. Далее ещё раз пользуемся непрерывностью по $y$ и, немного подумав, получаем, что найдётся невырожденный прямоугольник $[a_1;b_1]\times[c_1;d_1]\subset[a;b]\times[c;d]$, что $b_1-a_1<\frac{b-a}2$, $d_1-c_1<\frac{d-c}2$, и $\forall y\in[c_1;d_1]\quad|f(a_1,y)-f(b_1,y)|>\varepsilon$. Аналогично найдётся $[a_2;b_2]\times[c_2;d_2]\subset[a_1;b_1]\times[c_1;d_1]$ с аналогичными свойствами, итд. Тогда в точке $z_0=\bigcap\limits_{n=1}^\infty[a_n;b_n]\times[c_n;d_n]$ нарушается непрерывность по $x$. Противоречие.

[Brukvalub]

Получилось нехорошо с моей стороны, я всего лишь помнил, что когда-то RIP обсуждал этот вопрос, но деталей не помнил, и невольно переадресовал вопрос к нему. Но RIP, как всегда, с честью вышел из непреднамеренно созданного мной ему трудного положения.