2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 f(x,y) непр. по каждой перем. и разрывная в любой точке R2
Сообщение07.05.2007, 00:13 


07/05/07
1
помогите пожалуйста решить: Можно ли привести пример функции f(x, y), непрерывной по каждой переменной в отдельности, но разрывной для любой точки (x, y) из R2.

Я подозреваю, что нельзя, но как это доказать не знаю. Помогите пожалуйста... :!:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 06:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Обсуждалось на Форуме (просмотрите архив сообщений RIPa).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 09:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Здесь я формулировал утверждение без док-ва. Больше я вроде нигде не встречал его. Вот набросок док-ва.
Пусть функция $f(x,y)\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ непрерывна по каждой переменной. Для $\varnothing\ne A\subset\mathbb{R}^2$ будем обозначать $\mathop{\rm osc}\limits_Af:=\sup\limits_Af-\inf\limits_Af$. Тогда множество точек разрыва функции $f$ есть $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_{1/n}$, где $A_\varepsilon:=\{z\in\mathbb{R}^2\mid\forall\delta>0\quad\mathop{\rm osc}\limits_{B_{\delta}(z)}f>4\varepsilon\}$. (Здесь $B_{\delta}(z)~-$ это круг радиуса $\delta$ с центром в точке $z$.) Если доказать, что каждое из $A_\varepsilon$ нигде не плотно ($\varepsilon>0$), то получим, что множество точек разрыва является тощим (первой категории по Бэру), в частности не может совпадать со всем $\mathbb{R}^2$. Нигде не плотность вытекает из двух утверждений:
1) $A_\varepsilon$ замкнуто. Это очевидно.
2) $A_\varepsilon$ не содержит никакого невырожденного прямоугольника. Строгое док-во этого утверждения мне лень расписывать, но идея такая. Допустим обратное, пусть $[a;b]\times[c;d]\subset A_\varepsilon$. Рассмотрим точки $z_1=(\frac{a+b}3;\frac{c+d}2)$ и $z_2=(\frac{2(a+b)}3;\frac{c+d}2)$. Поскольку $f$ непрерывна по $y$, то для всех точек $z=(\frac{a+b}3;y)$, близких к $z_1$, будет $|f(z)-f(z_1)|<\varepsilon$. Поскольку $z_2\in A_\varepsilon$, то найдётся сколь угодно близкая к $z_2$ точка $z_3$ такая, что $|f(z_3)-f(z_1)|>2\varepsilon$. Далее ещё раз пользуемся непрерывностью по $y$ и, немного подумав, получаем, что найдётся невырожденный прямоугольник $[a_1;b_1]\times[c_1;d_1]\subset[a;b]\times[c;d]$, что $b_1-a_1<\frac{b-a}2$, $d_1-c_1<\frac{d-c}2$, и $\forall y\in[c_1;d_1]\quad|f(a_1,y)-f(b_1,y)|>\varepsilon$. Аналогично найдётся $[a_2;b_2]\times[c_2;d_2]\subset[a_1;b_1]\times[c_1;d_1]$ с аналогичными свойствами, итд. Тогда в точке $z_0=\bigcap\limits_{n=1}^\infty[a_n;b_n]\times[c_n;d_n]$ нарушается непрерывность по $x$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Получилось нехорошо с моей стороны, я всего лишь помнил, что когда-то RIP обсуждал этот вопрос, но деталей не помнил, и невольно переадресовал вопрос к нему. Но RIP, как всегда, с честью вышел из непреднамеренно созданного мной ему трудного положения. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group