Метрика на пространстве всех последовательностей

[VTV]

Пусть $\mathbb{R}^\omega$ --- пространство всех последовательностей со значениями в $\mathbb{R}$. Как доказать неравенство треугольника для метрики $\rho(x,y)=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left\{\frac1{n}+\max_{1\leq k\leq n}|x_k-y_k|\right\}$, где $x=(x_1,x_2,\ldots)\in\mathbb{R}^\omega,$ $y=(y_1,y_2,\ldots)\in\mathbb{R}^\omega$? (Задание из учебника Кадец В. М. "Курс функционального анализа").

[VTV]

Уже доказал. Сначала доказал для $\rho_m(x,y)=\inf_{1\leq n\leq m}\left\{\frac1{n}+\max_{1\leq k\leq n}|x_k-y_k|\right\}$, из чего следует для $\rho$. (Правда, $\rho_m$ не является метрикой).