В поисках второго корня

[Ktina]

Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что уравнение

$$\underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_{m}-\dfrac{1}{x^n}=0$$

Имеет более одного положительного вещественного корня?
(внутривтузовский тур)

Мне кажется, что нет.
При $x>1$ наша башня всегда $>1$, а дробь, наоборот, $<1$.
Если же $0<x<1$, то башня $<1$, а дробь $>1$.
Так что, при любых $m, n\in\mathbb N$ имеем единственный положительный вещественный корень $x=1$.

Только я понятия не имею, как всё это доказывать.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #751507 писал(а):

Только я понятия не имею, как всё это доказывать.

Это простейшие свойства степени, доказывать их вряд ли нужно.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #751513 писал(а):

Ktina в сообщении #751507 писал(а):

Только я понятия не имею, как всё это доказывать.

Это простейшие свойства степени, доказывать их вряд ли нужно.

То есть, если я оформлю решение так, как здесь, проблем не будет?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #751515 писал(а):

То есть, если я оформлю решение так, как здесь, проблем не будет?

Не должно быть. Задача сама по себе пустяковая, чего уж тут выдумывать.

[Sonic86]

Ну можете прологарифмировать, прикола ради.

[Yu_K]

Что-то вспомнилось такое неравенство $x^x \le (\tg \frac{\pi}{6})^\tg\frac{\pi}{6}$ - видимо ассоциативно "в поисках второго корня".