2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 В поисках второго корня
Сообщение03.08.2013, 14:52 
Аватара пользователя
Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что уравнение
$$\underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_{m}-\dfrac{1}{x^n}=0$$
Имеет более одного положительного вещественного корня?
(внутривтузовский тур)

Мне кажется, что нет.
При $x>1$ наша башня всегда $>1$, а дробь, наоборот, $<1$.
Если же $0<x<1$, то башня $<1$, а дробь $>1$.
Так что, при любых $m, n\in\mathbb N$ имеем единственный положительный вещественный корень $x=1$.

Только я понятия не имею, как всё это доказывать.

 
 
 
 Re: В поисках второго корня
Сообщение03.08.2013, 15:24 
Ktina в сообщении #751507 писал(а):
Только я понятия не имею, как всё это доказывать.
Это простейшие свойства степени, доказывать их вряд ли нужно.

 
 
 
 Re: В поисках второго корня
Сообщение03.08.2013, 15:28 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #751513 писал(а):
Ktina в сообщении #751507 писал(а):
Только я понятия не имею, как всё это доказывать.
Это простейшие свойства степени, доказывать их вряд ли нужно.

То есть, если я оформлю решение так, как здесь, проблем не будет?

 
 
 
 Re: В поисках второго корня
Сообщение03.08.2013, 15:44 
Ktina в сообщении #751515 писал(а):
То есть, если я оформлю решение так, как здесь, проблем не будет?
Не должно быть. Задача сама по себе пустяковая, чего уж тут выдумывать.

 
 
 
 Re: В поисках второго корня
Сообщение03.08.2013, 15:48 
Ну можете прологарифмировать, прикола ради.

 
 
 
 Re: В поисках второго корня
Сообщение05.08.2013, 12:17 
Что-то вспомнилось такое неравенство $x^x \le (\tg \frac{\pi}{6})^\tg\frac{\pi}{6}$ - видимо ассоциативно "в поисках второго корня".

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group