2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Преобразование системы д.у.
Сообщение06.05.2007, 22:51 
Есть система:
\[
\left\{ \begin{gathered}
  \dot x_1  = x_3  \hfill \\
  \dot x_2  = x_4  \hfill \\
  \dot x_3  = \alpha x_1  + 2\sigma x_4  + \beta x_1 x_2^2  \hfill \\
  \dot x_4  = ex_2  - 2\sigma x_3  + \gamma x_1 x_2^2  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)
\]

Требуется систему (1) преобразовать к виду:
\[
\left\{ \begin{gathered}
  \dot x =  - \lambda y + X(x,y,z_1 ,z_2 ) \hfill \\
  \dot y = \lambda x + Y(x,y,z_1 ,z_2 ) \hfill \\
  \dot z_1  = b_{11} z_1  + b_{12} z_2  + Z_1 (x,y,z_1 ,z_2 ) \hfill \\
  \dot z_2  = b_{21} z_1  + b_{22} z_2  + Z_2 (x,y,z_1 ,z_2 ) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,\,\,\,(2)
\]

Систему (1) можно записать в виде: \[
\dot X = AX
\].
\[
\lambda 
\] - собственное значение матрицы\[
A
\].

Не подскажите, какую надо произвести замену переменных?

 
 
 
 Re: Преобразование системы
Сообщение08.05.2007, 11:51 
.:Артём:. писал(а):
Есть система:
Систему (1) можно записать в виде: \[
\dot X = AX
\].
[math]

С чего вы взяли что это возможно? По моему - без линеаризации в некоторой точке у вас не получится записать нелинейную систему Д.У в виде линейной.

 
 
 
 
Сообщение08.05.2007, 14:30 
Аватара пользователя
Судя по всему разложение нужно проводить для X=0
Собственные значения в этом случае будут что -то вроде биквадратного уравнения:
$ \lambda^4+(4\sigma^2-e-\alpha)\lambda^2+e\alpha=0$

В случае совпадения корней вам нужно найти два ортогональных собственных вектора
$ r_1={r_{11},r_{21},r_{31},r_{41}},
$ r_2={r_{12},r_{22},r_{32},r_{42}},
для первого из двух собственных значений.
То же самое для второго.
Затем использовать замену

$ x_1={r_{11}x+r_{12}y+r_{13}z_1+r_{14}z_2,
$ x_2={r_{21}x+r_{22}y+r_{23}z_1+r_{24}z_2,
$ x_3={r_{31}x+r_{32}y+r_{33}z_1+r_{34}z_2,
$ x_4={r_{41}x+r_{42}y+r_{43}z_1+r_{44}z_2,

После преобразования первые два уравнения должны быть как в системе (2)

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group