треугольник, касательная к графику функции, окружность...

[BlondiE]

На координатной плоскости xOy задан треуголььник с вершинами A(0;0), B(0;4), C(2;4). К графику функции y=2x+2/x, x>0, проведена касательная, отсекающая от треугольника ABC четырёхугольник, около которого можно описать окружность. Найти координаты центра этой окружности.

[Lion]

Для начала найдите координаты вершин полученного четырехугольника. Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $x_0$ и пересекает стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Запишите условие подобия треугольников $AKL$ и $ABC$ через отношение соответствующих сторон. Отсюда можно найти $x_0$ и координаты точки $L$. Дальше уже просто.

[BlondiE]

спс большое! Пойду посмотрю, что у меня из этого выйдет...гм...

[BlondiE]

не могли бы объяснить поподробнее, потому что я упираюсь в уравнение с кучей неизвестных
И вроде как нужно рассматривать два случая, потому что две касательных. или я не права?

[Zai]

У Вас прямоугольный треугольник. Центр опсанной окружности лежит на линии y=2.
Если точка (p,4) - пересечение окружностью верхнего горизонтального ребра, то центр будет в точке (P/2,2). Радиус окружности
$\sqrt {\frac {p^2} 4 +4}
Уравнение косого ребра АС y=2x
Вторая точка (q,2q) также лежит на окружности

$ (q- \frac p 2)^2+(2q-2)^2=\frac {p^2} 4 +4

Это выражение упрощается

$ p= \frac{(2q-2)^2-4+q^2} q =5q-8

Угол наклона
$ -\frac {4-2q} {q- \frac p 2}
равен производной
$ 2- \frac 2 {x^2}

[BlondiE]

Zai писал(а):

У Вас прямоугольный треугольник. Центр опсанной окружности лежит на линии y=2.

Центр описанной окружности треугольника? или четырёхугольника, возле которого и требуется описать окружность?

[Zai]

И треугольника и любого четырехугольника, у которого есть вертикальное ребро АВ.

[BlondiE]

Zai писал(а):

$ -\frac {4-2q} {q- \frac p 2}
равен производной
$ 2- \frac 2 {x^2}

Почему мы можем считать производную от этого выр-я, а не производную от первоначального уравнения?

[Zai]

Это уже производная от первоначального выражения.
Я нашел ошибку в предыдущем сообщении.
У Вас прямоугольный треугольник. Центр опсанной окружности лежит на линии y=2.
Если точка (p,4) - пересечение окружностью верхнего горизонтального ребра, то центр будет в точке (P/2,2). Радиус окружности
$\sqrt {\frac {p^2} 4 +4}
Уравнение косого ребра АС y=2x
Вторая точка (q,2q) также лежит на окружности

$ (q- \frac p 2)^2+(2q-2)^2=\frac {p^2} 4 +4

Это выражение упрощается

$ p= \frac{(2q-2)^2-4+q^2} q =5q-8

Угол наклона
$ -\frac {4-2q} {q- p} = \frac {4-2q} {q-5q+8} = -\frac 1 2
равен производной
$ 2- \frac 2 {x^2} = -\frac 1 2
$ x= \frac 2 {\sqrt{5}}

[BlondiE]

$ x= \frac 2 {\sqrt{5}} - это $ x_0 касательной?
у меня получается система, которая после преобразований имеет вид: 10-4p=q и p=5q-8
Отсюда p=2, q=2. Так?

[Zai]

Как же так получилось что Вы не нашли моей ошибки?
x это Ваше x_0
Но p=2 и q=2 это угловая точка и нет никакого четырехугольника. Если Вы все правильно сделали то решнения нет. Меня очень удивило что угол наклона отсеченной стороны постоянен. Это тянет на новую теорему.

Я еще раз проверил решение в геометрическом пакете.
Центр окружности лежит (0.47185990539191,2.0)
Точка на искомой кривой (0.89442718,4.02492237)
Радиус описанной окружности 2.05490918785150
p=0.944766310
q=1.78874396215680

После того как Вы нашли правильно точку на кривой нужно правильно заисать уравнение касательной и найдти p.
Центр окружности (p/2,2)

[BlondiE]

а что если найти ур-е касательной, затем посчитать координаты четырёхугольника, найти его стороны, посчитать центр вписанной окружности.
или это бред?)

[Zai]

Точка на кривой имеет координаты
$( \frac 2 {\sqrt {5}}, \frac 4 {\sqrt {5}}+\sqrt {5} )
Уравнение для p
$ p-\frac 2 {\sqrt {5}}=(\frac 4 {\sqrt {5}}+\sqrt {5}-4) 2

$ p=\frac 2 {\sqrt {5}}+(\frac 4 {\sqrt {5}}+\sqrt {5}-4) 2=4\sqrt {5}-8
Центр окружности
$(2\sqrt {5}-4,2)