Геометрическое определение эллипсоида

[sergei1961]

Вопрос о разнице в геометрических определениях эллипса и эллипсоида. Прямой перенос с плоскости в пространство-сумма расстояний до двух данных постоянна-насколько я понимаю, позволяет определять только эллипсоид вращения. А есть геометрическое определение у эллипсоида общего положения, аналогичное эллипсу на плоскости?

[ИСН]

sergei1961 в сообщении #750740 писал(а):

Прямой перенос с плоскости в пространство-сумма расстояний до двух данных постоянна-насколько я понимаю, позволяет определять только эллипсоид вращения.

Вытянутый эллипсоид вращения. Уже у сплюснутого - всё плохо!

[arseniiv]

Кстати, а как называется обобщение фокусов у сплюснутого — фокальная окружность?

[sergei1961]

Про разницу вытянутого и сплюснутого-где прочитать, или это просто, самому подумать?
У сплюснутого-разве не просто два фокуса?
Про общий случай-так таки нет геометрического не искусственного определения?

[mihailm]

sergei1961 в сообщении #750889 писал(а):

Про разницу вытянутого и сплюснутого-где прочитать, или это просто, самому подумать?...

Просто, хотя пока об этом ИСН не сказал, я не знал)

[Nacuott]

sergei1961 в сообщении #750889 писал(а):

Про разницу вытянутого и сплюснутого-где прочитать, или это просто, самому подумать?
У сплюснутого-разве не просто два фокуса?
Про общий случай-так таки нет геометрического не искусственного определения?

Вид эллипсоида определяется длиной своих полуосей.Какие зададите, такой и получится.

[arseniiv]

sergei1961 в сообщении #750889 писал(а):

Про общий случай-так таки нет геометрического не искусственного определения?

Можно эллипс «вращать по эллипсу» (такое «вращение» точки должно давать эллипс).

[Munin]

Может быть, получится обобщить на 3D не один эллипс, а систему софокусных эллипсов?

[iifat]

Nacuott в сообщении #751161 писал(а):

Вид эллипсоида определяется длиной своих полуосей

Не только. Эллипсоид вращения можно получить, вращая вокруг длинной либо короткой оси. В первом — только в первом — случае полученная фигура будет геометрическим местом точек, аналогичным эллипсу. Вторую описать сложнее.

[sergei1961]

Возникает возможность некоторых обобщений. Банальность-на плоскости множество точек, для которых сумма минимального и максимального расстояний до данной окружности постоянная-это окружности.
Задача 1. Описать множество точек на плоскости, для которых сумма минимального и максимального расстояний до данного ЭЛЛИПСА постоянна.
Задача 2. Описать множество точек в трёхмерном пространстве, для которых сумма минимального и максимального расстояний до данного ЭЛЛИПСА постоянна.

Интересно, решаются ли задачи аналитически, можно ли предъявить уравнения такой кривой и поверхности в явном виде?

[arseniiv]

Экстремумы расстояния (для задачи 1), по крайней мере, в элементарных функциях выражаются.

[sergei1961]

Где-то выписаны или легко считаются? Кривая при этом вряд ли будет простая, всё равно.

[arseniiv]

Про выписанность не знаю, считаются, возможно, и легко, но получаются во много строк — считала за меня Mathematica и упростить потом не смогла. Получается арккосинус от дробей-корней-степеней-сумм квадратов полуосей эллипса и координат точки.

Кривые в результате получаются более-менее овальные, но на эллипсы не смахивают. К тому же, исходного эллипса среди них и не должно быть.

[sergei1961]

Спасибо, я поленился посчитать, пока остановился на болтовне. В принципе понятно-расстояние, производная, экстремумы, но сразу видно, что корней из уравнения исходного эллипса будет немало, которыми $y$ выражается через $x$.

[arseniiv]

Кстати, возвращаясь к

sergei1961 в сообщении #750889 писал(а):

Про общий случай-так таки нет геометрического не искусственного определения?

А нельзя ввести какие-нибудь кофокусы? Тогда, может быть, сплюснутый эллипсоид вращения получит два таких (а вытянутый — такую фокальную окружность). Хотя с общим случаем ничего не поменяется.