Бинарная операция

[Ktina]

На множестве $\mathbb {R}$ задана бинарная операция $\clubsuit$
Известно, что

$$\forall x, y, z\in\mathbb R:\quad \left(x \clubsuit y\right) \clubsuit z=x+y+z$$

Обязательно ли операция $\clubsuit$ является сложением?

[hippie]

Ответ: обязательно.

$x\clubsuit y=x\clubsuit y+0+0=((x\clubsuit y)\clubsuit 0)\clubsuit 0 = (x+y)\clubsuit 0.$
$x+y-(x\clubsuit y)=(x\clubsuit y)\clubsuit (-(x\clubsuit y))=((x\clubsuit y)-(x\clubsuit y))\clubsuit 0=0\clubsuit 0=0+0-(0\clubsuit 0)=0.$

[Ktina]

hippie,
Откровенно говоря, Вашего решения не поняла.
У меня было так:

Пусть $0\clubsuit 0=x$
Тогда

$$\forall a\in\mathbb R:\quad x\clubsuit a=(0\clubsuit 0)\clubsuit a=a$$

Но тогда

$$\forall a, b\in\mathbb R:\quad a\clubsuit b=(x\clubsuit a)\clubsuit b=a+b+x$$

До сих пор мы доказали, что операция $\clubsuit $ это либо сложение, либо сложение со сдвигом. Теперь докажем, что этот сдвиг равен нулю:

$$a\clubsuit b=(x\clubsuit a)\clubsuit b=a+b+x\quad\to\quad x\clubsuit x=x+x+x=3x=(0\clubsuit 0)\clubsuit x=x\quad\to\quad x=0$$

Ч. Т. Д.

Так?

[Ktina]

Мне только что Катенька подсказала, что вещественность тут вроде как и ни при чём:

Катенька-Катюшка-Екатерина писал(а):

А еще более естественно - решить более общую задачу: G - произвольная группа с операцией +, * - другая бинарная операция на G, такая, что (x*y)*z=x+y+z. Найти все возможные "*".

[hippie]

Катенька-Катюшка-Екатерина писал(а):

А еще более естественно - решить более общую задачу: G - произвольная группа с операцией +, * - другая бинарная операция на G, такая, что (x*y)*z=x+y+z. Найти все возможные "*".

Ответ: $x*y=a+x+y,$ где $a+a=0.$

$x*y=x*y+0+0=((x*y)*0)*0 = (x+y+0)*0= (x+y)*0.$
$x+y-(x*y)=(x*y)*(-(x*y))=((x*y)-(x*y))*0=0*0=0+0-(0*0)=-(0*0).$
$x*y=-(0*0)+x+y=0*0+x+y.$

[Ktina]

hippie,
Спасибо!

[hippie]

Исправил ошибку в ответе:

Не $x+y+a,$ а $a+x+y.$

[Ktina]

hippie в сообщении #750870 писал(а):

Исправил ошибку в ответе:

Не $x+y+a,$ а $a+x+y.$

Это потому, что она не обязана коммутативной быть?

[hippie]

Ktina в сообщении #750871 писал(а):

hippie в сообщении #750870 писал(а):

Исправил ошибку в ответе:

Не $x+y+a,$ а $a+x+y.$

Это потому, что она не обязана коммутативной быть?

Именно!
Решение и (исправленный) ответ подходят и для неабелевой группы.