Наблюдаемые и состояния в квантовой механике

[user14284]

Сразу скажу, что в физике профан. Решил проликбезиться по квантовой механике. Как я понял, состояния частицы описываются с помощью функций из $L^2(\mathbb R)$, квадрат модуля которых --- плотность вероятности нахождения частицы в данной точке. Сами вероятности выражаются уже через интеграл.

Вопрос. Почему бы сразу не говорить о вероятностях? То есть вероятностных мерах на $\mathbb R$. И почему бы не говорить об наблюдаемых как просто о случайных велечинах на $\mathbb R$. Тогда интегралы заменяются на матожидание, дисперсию и СКО. А принцип Гейзенберга, как я понимаю, просто дает неравенство на произведение СКО положения и импульса.

Я не альтернативщик, мне просто интересно. Спасибо.

[EvilPhysicist]

user14284 в сообщении #749884 писал(а):

Как я понял, состояния частицы описываются с помощью функций из $L^2(\mathbb R)$

Ну не совсем. Волновые функции берутся из $L_2 (M)$, где $M$ -- фазовое пространство системы, если я все правильно помню.

user14284 в сообщении #749884 писал(а):

Почему бы сразу не говорить о вероятностях? То есть вероятностных мерах на $\mathbb R$. И почему бы не говорить об наблюдаемых как просто о случайных велечинах на $\mathbb R$.

Потому что не взлетит.
Случайных величин можно задать сколько угодно.
А вот наблюдаемые являются эрмитовыми операторами над алгеброй состояний. И искать их можно исходя из классики. Если я ни в чем не ошибаюсь, то вообще все наблюдаемые величины, по крайней мере в квантах без вторичного квантования, берутся из теоремы Нётер. Если есть сохраняющийся ток, то есть группа диффеоморфизмов фазового пространства, она задает векторное поле, а его можно рассматривать как дифференциальный оператор. Как-то так.

user14284 в сообщении #749884 писал(а):

Тогда интегралы заменяются на матожидание, дисперсию и СКО.

Так они это самое и есть. Когда вы пишите наблюдаемое значение величины $A$ как $\int dx \psi^\ast \hat A \psi = \langle \phi \rvert \hat A \lvert \psi \rangle$, то вы вообще-то мат ожидание величины и считаете.

user14284 в сообщении #749884 писал(а):

А принцип Гейзенберга, как я понимаю, просто дает неравенство на произведение СКО положения и импульса.

Ну, не совсем. В современном виде, как я понимаю, он тоже просто является, по большей части, следствием того, что не все векторные поля коммутируют.

[user14284]

Цитата:

А вот наблюдаемые являются эрмитовыми операторами над алгеброй состояний.

А нельзя это сформулировать в терминах соответствующих случайных величин?

[EvilPhysicist]

user14284 в сообщении #749911 писал(а):

А нельзя это сформулировать в терминах соответствующих случайных величин?

Сейчас мне думается, что нельзя.
Главным образом потому что мат ожидание случайно величины $\int dq A(q) \rho(q)$, а мат ожидание из квантов $\int dq \psi^\ast \hat A \psi$. Но так как $\hat A$ -- оператор, то под интегралом выделить $\rho =\psi^\ast \psi$ красиво не получится ( никто не запретит писать $\int \dq \psi^\ast \psi \cfrac{\hat A \psi}{\psi}$, но тут возникнут проблемы с тем, что $\psi$ может обращаться в нуль).

[Munin]

user14284 в сообщении #749884 писал(а):

Почему бы сразу не говорить о вероятностях?

Потому что есть фаза. Допустим, у нас есть фотон, разделённый полупрозрачным зеркалом на фотон справа и фотон слева. Вероятности у них одинаковые. Но потом мы совмещаем эти фотоны, и там, где фазы совпадают, возникает исходный фотон, а где противоположные - получается нуль. Из вероятности этих результатов извлечь нельзя. У неё просто не хватает информации.

[Alex-Yu]

user14284 в сообщении #749911 писал(а):

А нельзя это сформулировать в терминах соответствующих случайных величин?

Многие пытались. Не получилось ни у кого. Квантовая механика --- содержательная теория не сводящаяся к статистической механике. Физически это довольно ясно: работая только с вероятностями (а не с амплитудами вероятностей) Вы никогда получите интерференции. А интерференция --- это экспериментальный факт.

-- Пн июл 29, 2013 02:48:37 --

EvilPhysicist в сообщении #749924 писал(а):

( никто не запретит писать $\int \dq \psi^\ast \psi \cfrac{\hat A \psi}{\psi}$, но тут возникнут проблемы с тем, что $\psi$ может обращаться в нуль).

Дело даже не в нуле. Все равно в это выражение входит и сама волновая функция тоже, а не только ее квадрат модуля.