Дифференциальная геометрия. Векторные поля на многообразиях

[EvilPhysicist]

Здравствуйте, помогите разобраться с некоторыми проблемами. Всюду использую книжку Сарданашвили "Современные методы теории поля" том 2

1)Вертикальное касательное подрасслоение.
Дается определение такое: $\pi \colon Y \to X$ -- расслоение. Вертикальным касательным расслоением называется

$$ VY =\operatorname{Ker} T \pi \to Y $$

Итак, пусть $X=S^1$, $Y=R \times S^1$. На $Y$ атлас с координатами $(x, \varphi)$, $x\in \mathbb R$, $\varphi \in S^2$. На касательном расслоение $TY$ атлас с координатами $(x, \varphi, \dot x, \dot \varphi)$.

Верно ли, что $v \in TY$ принадлежит $VY$ тогда и только тогда, когда его координаты имеют вид $(x,\varphi,0,\dot\varphi)$? Можно ли при этом вектора из $VY$ записывать в виде $v = v^x \partial_x$, где $\partial_x$ -- один из векторов, голономного базиса?

2)Проектируемое векторное поле.

Также, $\pi\colon Y \to X$ -- расслоение. $u=u^\lambda \partial_\lambda + u^i \partial_i \in TY $, где $\partial_i$ -- голономные базис $TX$. Верно ли, что поле $u$ является проектируемым тогда и только тогда, когда $u^\lambda=u^\lambda(x)$, $u^i=u^i (y)$ и его проекция $u_x=u^\lambda(x) \partial_\lambda$?

3) (S-N)-скобки
Определение (S-N)-скобок:

$$[\cdots,\cdots]_{SN} \colon T_r(M) \times T_s (M) \to T_{r+s-1}(M)$$

$$\begin{matrix} \theta=\cfrac{1}{r!} \theta^{\lambda_1 \cdots \lambda_r} \partial_{\lambda_1} \wedge \cdotd \wedge \partial_{\lambda_r}& v=\cfrac{1}{s!} v^{\alpha_1 \cdots \alpha_s} \partial_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge \partial_{\alpha_s} \end{matrix} $$

$$[ \theta, v]_{SN} = \theta \star v + (-1)^{r+s} v \star \theta $$

где

$$ \theta \star v = \cfrac{r}{r! s!} ( \theta^{\mu \lambda_1 \cdots \lambda_{r-1}} \partial_\mu v^{\alpha_1 \cdots \alpha_s} \partial_{\lambda_1} \wedge \cdots \wedge \partial_{\lambda_{r-1}} \wedge \partial_{\alpha_1}\wedge \cdots \wedge \partial_{\alpha_s} ) $$

Так вот, откуда берется это определение? И есть ли у него какой-либо простой геометрический смысл?

[vanger]

EvilPhysicist в сообщении #749846 писал(а):

Здравствуйте, помогите разобраться с некоторыми проблемами.

Добрый вечер!

1)

Цитата:

Верно ли, что $v \in TY$ принадлежит $VY$ тогда и только тогда, когда его координаты имеют вид $(x,\varphi,0,\dot\varphi)$? Можно ли при этом вектора из $VY$ записывать в виде $v = v^x \partial_x$, где $\partial_x$ -- один из векторов, голономного базиса?

Да.

2)

Цитата:

Также, $\pi\colon Y \to X$ -- расслоение. $u=u^\lambda \partial_\lambda + u^i \partial_i \in TY $, где $\partial_i$ -- голономные базис $TX$. Верно ли, что поле $u$ является проектируемым тогда и только тогда, когда $u^\lambda=u^\lambda(x)$, $u^i=u^i (y)$ и его проекция $u_x=u^\lambda(x) \partial_\lambda$?

Да. Для проектируемости необходимо и достаточно, чтобы $u^\lambda$ не зависело от координат вдоль слоя. В противном случае, очевидно, сломается коммутативность диаграммы

$$\xymatrix{ Y \ar[r]^{u_Y} \ar[d]^{\pi} & TY \ar[d]^{T\pi}\\ X \ar[r]^{u_X} & TX }$$

Кстати, насколько помню, дифференциально-геометрическое введение в первом томе были чуть менее конспективным.

[EvilPhysicist]

vanger в сообщении #749962 писал(а):

Кстати, насколько помню, дифференциально-геометрическое введение в первом томе были чуть менее конспективным.

Да, так и есть. Я пока хочу на таком уровне с ней познакомится.