Доказательство утверждения о движении

[angor6]

Правильным ли будет следующее доказательство утверждения: "При всяком движении полуплоскость переходит в полуплоскость"?

Пусть $\pi$ - полуплоскость с границей $p.$ Выберем на прямой $p$ две произвольные точки $A$ и $B.$ Образами этих точек при движении будут точки $A'$ и $B'.$ Проведём через точки $A'$ и $B'$ прямую $p',$ которая будет образом прямой $p$ при принятом движении. Эта прямая будет границей образа $\pi '$ полуплоскости $\pi$ при движении.

Возьмём в полуплоскости $\pi$ произвольную точку $C$ и опустим перпендикуляр $CD$ на прямую $p~(D \in p),$ а затем продолжим его неограниченно по другую сторону от точки $C.$ Получим луч $DC,$ произвольной точке $E$ которого соответствует её образ $E'$ на луче $D'C'~(D' \in p')$ такой, что $|D'E'|=|DE|.$ Каждому лучу, лежащему в полуплоскости $\pi,$ соответствует луч, лежащий в её образе $\pi',$ причём различным лучам соответствуют различные лучи (потому что движение является взаимно однозначным отображением плоскости на себя). Следовательно, образом полуплоскости $\pi$ при движении является полуплоскость $\pi'.$