2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл Лебега от синуса
Сообщение05.05.2007, 22:35 


05/05/07
6
Доброго времени суток, господа-математики :)
Вот задали решить такой интеграл $$\int_{0}^{\pi / 2} sin(x) dx$$... Естественно брать его надо не по Риману, а по Лебегу - в этом то вся и загвоздка, иначе бы не писал бы я сюда... Направьте меня, пожалуйста, что мне делать... Насколько я знаю в случае лебеговского интеграла, если интеграл существует и по Риману, то по Риману можно брать. Если это не так - осеките меня, пожалуйста. Взять то его по Риману - это дело 10 секунд, но там ведь что-то ещё надо доказать по-видимому. Может быть ограниченность функции, суммируемость... Подскажите, плиз... Потому что в Кириллове, Гвишиани и Городецком ничего нормального найти не могу... Заранее очень благодарен за любую релевантную информацию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2007, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Теорема Если Функция интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу. При этом значения интегралов совпадают.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2007, 22:52 


05/05/07
6
lofar, да это я прекрасно знаю... Но задание то гласит, что надо брать по Лебегу!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2007, 23:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
dreamcutter писал(а):
но там ведь что-то ещё надо доказать по-видимому. Может быть ограниченность функции, суммируемость


Ничего не надо доказывать, кроме интегрируемости по Риману и той теоремы, которую привел lofar. Если хотите, можете их доказать в задании, если не хотите на них сослаться.

Еще если так уж хочется непосредственно применить определение интеграла Лебега, то можно это сделать и непосредственно, учитывая, что функция монотонна. По сути будет доказательство, аналогичное доказательству интеграла Римана.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2007, 23:23 


05/05/07
6
Спасибо большое, но вообще конечно странно, что задание такоё лёгкое получается....

Цитата:
Ничего не надо доказывать, кроме интегрируемости по Риману и той теоремы, которую привел lofar.


А не напомните тогда, что для римановской интегрируемости необходимо и достаточно? Ограниченность и кусочная непрерывность? Или ещё там что-то?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2007, 23:39 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
dreamcutter писал(а):
А не напомните тогда, что для римановской интегрируемости необходимо и достаточно? Ограниченность и кусочная непрерывность? Или ещё там что-то?

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является, например условие равенства нулю меры Лебега множества точек разрыва функции.

Но здесь можно обойтись лишь достаточными условиями интегрируемости функции по Риману, например, непрерывность (кусочная непрерывность) на этом отрезке; монотонность и ограниченность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2007, 23:45 


05/05/07
6
Gordmit:
Цитата:
Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является, например условие равенства нулю меры Лебега множества точек разрыва функции.


Вы хотите сказать, что и Дирихле проинтегрировать можно по Риману? Насколько я знаю, в римановской подынтегральной функции должно быть именно конечное число разрывов, а не то, что называется "почти всюду" или я не прав?

Gordmit:
Цитата:
Но здесь можно обойтись лишь достаточными условиями интегрируемости функции по Риману, например, непрерывность (кусочная непрерывность) на этом отрезке; монотонность и ограниченность.


Спасибо

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2007, 23:51 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
dreamcutter писал(а):
Вы хотите сказать, что и Дирихле проинтегрировать можно по Риману? Насколько я знаю, в римановской подынтегральной функции должно быть именно конечное число разрывов, а не то, что называется "почти всюду" или я не прав?
У функции Дирихле $$D(x)=\begin{cases}
1,&x\in\mathbb{Q};\\
0,&x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}
\end{cases}$$, $x\in[0,1]$ каждая точка отрезка $[0,1]$ является точкой разрыва, так что множество точек разрыва функции Дирихле на этом отрезке имеет лебегову меру 1, а не 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2007, 00:04 


05/05/07
6
Gordmit, мне казалось, что Дирихле разрывна в рациональных точках (мера которых = 0), а не в иррациональных (мера которых = 1)... Ну да ладно, это уже больше оффтоп, нежели решение вопроса :) Да и к тому же может быть я и не прав в вышенаписанном...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2007, 00:15 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
dreamcutter писал(а):
Gordmit, мне казалось, что Дирихле разрывна в рациональных точках (мера которых = 0), а не в иррациональных (мера которых = 1)...
Нет, это неверно. Если бы функция Дирихле была непрерывна в иррациональной точке $x_0$, то в некоторой окрестности этой точки она была бы меньше, скажем, $\frac12$, однако в любой окрестности иррационального числа есть рациональные числа, в которых функция принимает значение 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2007, 00:24 


05/05/07
6
Ну что ж, спасибо всем за помощь))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2007, 01:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Gordmit писал(а):
Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является, например условие равенства нулю меры Лебега множества точек разрыва функции.

Это неверно. Функция $f\colon[a;b]\to\mathbb{R}$ интегрируема по Риману на отрезке $[a;b]$ $\Longleftrightarrow$ она ограничена и почти всюду непрерывна на отрезке $[a;b]$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2007, 02:11 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Да, ограниченность потерял. Это важное условие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group