Интеграл Лебега от синуса

[dreamcutter]

Доброго времени суток, господа-математики
Вот задали решить такой интеграл

$$\int_{0}^{\pi / 2} sin(x) dx$$

... Естественно брать его надо не по Риману, а по Лебегу - в этом то вся и загвоздка, иначе бы не писал бы я сюда... Направьте меня, пожалуйста, что мне делать... Насколько я знаю в случае лебеговского интеграла, если интеграл существует и по Риману, то по Риману можно брать. Если это не так - осеките меня, пожалуйста. Взять то его по Риману - это дело 10 секунд, но там ведь что-то ещё надо доказать по-видимому. Может быть ограниченность функции, суммируемость... Подскажите, плиз... Потому что в Кириллове, Гвишиани и Городецком ничего нормального найти не могу... Заранее очень благодарен за любую релевантную информацию.

[lofar]

Теорема Если Функция интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу. При этом значения интегралов совпадают.

[dreamcutter]

lofar, да это я прекрасно знаю... Но задание то гласит, что надо брать по Лебегу!

[PAV]

dreamcutter писал(а):

но там ведь что-то ещё надо доказать по-видимому. Может быть ограниченность функции, суммируемость

Ничего не надо доказывать, кроме интегрируемости по Риману и той теоремы, которую привел lofar. Если хотите, можете их доказать в задании, если не хотите на них сослаться.

Еще если так уж хочется непосредственно применить определение интеграла Лебега, то можно это сделать и непосредственно, учитывая, что функция монотонна. По сути будет доказательство, аналогичное доказательству интеграла Римана.

[dreamcutter]

Спасибо большое, но вообще конечно странно, что задание такоё лёгкое получается....

Цитата:

Ничего не надо доказывать, кроме интегрируемости по Риману и той теоремы, которую привел lofar.

А не напомните тогда, что для римановской интегрируемости необходимо и достаточно? Ограниченность и кусочная непрерывность? Или ещё там что-то?

[Gordmit]

dreamcutter писал(а):

А не напомните тогда, что для римановской интегрируемости необходимо и достаточно? Ограниченность и кусочная непрерывность? Или ещё там что-то?

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является, например условие равенства нулю меры Лебега множества точек разрыва функции.

Но здесь можно обойтись лишь достаточными условиями интегрируемости функции по Риману, например, непрерывность (кусочная непрерывность) на этом отрезке; монотонность и ограниченность.

[dreamcutter]

Gordmit:

Цитата:

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является, например условие равенства нулю меры Лебега множества точек разрыва функции.

Вы хотите сказать, что и Дирихле проинтегрировать можно по Риману? Насколько я знаю, в римановской подынтегральной функции должно быть именно конечное число разрывов, а не то, что называется "почти всюду" или я не прав?

Gordmit:

Цитата:

Но здесь можно обойтись лишь достаточными условиями интегрируемости функции по Риману, например, непрерывность (кусочная непрерывность) на этом отрезке; монотонность и ограниченность.

Спасибо

[Gordmit]

dreamcutter писал(а):

Вы хотите сказать, что и Дирихле проинтегрировать можно по Риману? Насколько я знаю, в римановской подынтегральной функции должно быть именно конечное число разрывов, а не то, что называется "почти всюду" или я не прав?

У функции Дирихле

$$D(x)=\begin{cases} 1,&x\in\mathbb{Q};\\ 0,&x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \end{cases}$$

, $x\in[0,1]$ каждая точка отрезка $[0,1]$ является точкой разрыва, так что множество точек разрыва функции Дирихле на этом отрезке имеет лебегову меру 1, а не 0.

[dreamcutter]

Gordmit, мне казалось, что Дирихле разрывна в рациональных точках (мера которых = 0), а не в иррациональных (мера которых = 1)... Ну да ладно, это уже больше оффтоп, нежели решение вопроса Да и к тому же может быть я и не прав в вышенаписанном...

[Gordmit]

dreamcutter писал(а):

Gordmit, мне казалось, что Дирихле разрывна в рациональных точках (мера которых = 0), а не в иррациональных (мера которых = 1)...

Нет, это неверно. Если бы функция Дирихле была непрерывна в иррациональной точке $x_0$, то в некоторой окрестности этой точки она была бы меньше, скажем, $\frac12$, однако в любой окрестности иррационального числа есть рациональные числа, в которых функция принимает значение 1.

[dreamcutter]

Ну что ж, спасибо всем за помощь))

[RIP]

Gordmit писал(а):

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является, например условие равенства нулю меры Лебега множества точек разрыва функции.

Это неверно. Функция $f\colon[a;b]\to\mathbb{R}$ интегрируема по Риману на отрезке $[a;b]$ $\Longleftrightarrow$ она ограничена и почти всюду непрерывна на отрезке $[a;b]$.

[Gordmit]

Да, ограниченность потерял. Это важное условие.