Расстояние от точки до кривой.

[Bug]

Пусть на плоскости точка $(x_0, y_0)$ и кривая вида
$y-f(x)=0$.
Так вот, необходимо найти только расстояние от точки до кривой, т.е. вообще говоря, координаты ближайшей точки кривой не нужны.
Можно ли эту задачу решить аналитически для любой кривой?

[Someone]

Задача эквивалентна поиску наименьшего значение функции $d(x)=\sqrt{(x-x_0)^2+(f(x)-y_0)^2}$ (или её квадрата). "Можно ли эту задачу решить аналитически для любой кривой?" Я ничего о таком не слышал.

[Bug]

Про это я уже думал... Поэтому и написал, что надо найти только расстояние. Т.к. этим методом мы в начале находим $x$, а потом расстояние $d(x)$
Но ничего хорошего не получилось. Поэтому я подкмал, а нельзя ли сразу найти расстояние.

[PAV]

Если и можно, то в очень частных случаях, используя очень специальные знания о кривой. На самом деле, едиснтвенный пример, который пришел в голову - это расстояние до прямой, которое можно найти скалярным произведением на единичный вектор, ортогональный этой прямой. Другого примера, чтобы расстояние было бы найти хоть чуточку проще, чем точку, даже и не придумывается.

[Someone]

Ну, может быть, ещё окружность.

[Bug]

Про расстояние до прямой я знаю... Хотелось бы что-нибудь по сложнее. А если вид функции извесетен, то какой может быть ход решения, кроме как искать точку минимума функции расстояния? Например, если рассмотреть функцию вида $x \sin x$

[Gordmit]

Думаю, в этом случае вряд ли можно придумать что-то проще...

[Bug]

А если необходимо узнать, проходит ли кривая вблизи данной точки. Т.е. для заданной точки и заданного радиуса окрестности $r$, определить проходит ли кривая эту окрестность.

[ГАЗ-67]

Тогда необходимо решить систему нелинейных уравнений .

[Hypokeimenon]

Можно еще попытаться найти точку $(x,f(x))$, до которой расстояние минимально, из условия
$ (x_0 -x ) + ( y_0 - f(x) )* f^\prime (x) = 0 $
(естественно не достаточного, но необходимого для большого класса кривых)

[ГАЗ-67]

Честно говоря , я не понял условие . Пожалуйста , сформулируйте более чётко .
Быть может удасться входные данные свести к задаче вариационного исчисления с подвижными границами и тогда будем решать .

[Zai]

Аналитически можно решить для полинома второго порядка с помощью формул Кардано.