движение электронного пучка в конденсаторе

[Phoenix]

Пожалуйста, подскажите, где ошибка. Решаю задачу, физика вроде нехитрая, но ответ не сходится.
Условие (задача 7.3.9. из задачника Савченко):
Тонкий пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов $V$, входит в плоский конденсатор параллельно его пластикам (и на равном расстоянии от них). Определите угловой разброс электронов, если на пластины конденсатора подается напряжение $V_{0} \sin{\omega t}$. Расстояние между пластинами $d$ много меньше длины конденсатора $l$.
Решение:
Горизонтальная компонента скорости (равномерное движение): $v_\mathrm{x} = \sqrt{\frac{2 e V}{m_\mathrm{e}}}$, а вертикальная компонента скорости (равноускоренное движение): $v_\mathrm{y} = a_\mathrm{y} t_{0}= \frac{l }{d}\sqrt{\frac{2e}{m_\mathrm{e}V}}V_{0} \sin{\omega t}$, где $a_\mathrm{y}=\frac{eE}{m_\mathrm{e}}=\frac{2 e}{m_\mathrm{e}d}V_{0} \sin{\omega t} $ и $t_{0}=\frac{l}{v_\mathrm{x}}=l\sqrt{\frac{m_\mathrm{e}}{2eV}}$ ускорение в вертикальном направлении и время пролета соответственно. Тогда вертикальное смещение: $y = \int_{0}^{t_0}{v_\mathrm{y}}{dt} = -\frac{l V_{0}}{d \omega}\sqrt{\frac{2e}{m_\mathrm{e}V}}\cos{ \left( \omega l \sqrt{ \frac{m_\mathrm{e}}{2 e V} \right) }+ \mathrm{const} $. Константа равна нулю, т.к. начальное смещение равно нулю. Находим угол разброса:
$\tan{\alpha}=\frac{y}{l}= -\frac{V_{0}}{d \omega}\sqrt{\frac{2e}{m_\mathrm{e}V}}\cos{\left( \omega l \sqrt{ \frac{m_\mathrm{e}}{2 e V} \right)} $, т.е. $\Delta \alpha= \pm \arctan{\left[ -\frac{V_{0}}{d \omega}\sqrt{\frac{2e}{m_\mathrm{e}V}} \cos{\left( \omega l \sqrt{ \frac{m_\mathrm{e}}{2 e V}} \right)} \right]}$.
Однако в задачнике ответ другой:
$\Delta \alpha= \pm \arctan{\left[ \frac{V_{0}}{d \omega}\sqrt{\frac{2e}{m_\mathrm{e}V}} \left(1-\cos{\left( \omega l \sqrt{ \frac{m_\mathrm{e}}{2 e V} \right)} \right) \right]}$
Т.е. как если бы константа интегрирования была равна $ \frac{l V_{0}}{d \omega}\sqrt{\frac{2e}{m_\mathrm{e}V}} $, но почему? Где ошибка?

update: ошибка в неправильном интегрировании.

[Ms-dos4]

1)Куда делось t под косинусом? Верно так $\[y = - \frac{{l{U_0}}}{{d \cdot \omega }}\sqrt {\frac{{2e}}{{{m_e}U}}} \cos (\omega t\sqrt {\frac{{{m_e}}}{{2eU}}} ) + {\rm{const}}\]$
2)Как раз что бы начальное отклонение было 0,
$\[y(0) = - \frac{{l{U_0}}}{{d \cdot \omega }}\sqrt {\frac{{2e}}{{{m_e}U}}} + {\rm{const}} = 0\]$
, нужно что бы
$\[{\rm{const}} = \frac{{l{U_0}}}{{d \cdot \omega }}\sqrt {\frac{{2e}}{{{m_e}U}}} \]$

[Phoenix]

Ms-dos4 в сообщении #749265 писал(а):

1)Куда делось t под косинусом? Верно так $\[y = - \frac{{l{U_0}}}{{d \cdot \omega }}\sqrt {\frac{{2e}}{{{m_e}U}}} \cos (\omega t\sqrt {\frac{{{m_e}}}{{2eU}}} ) + {\rm{const}}\]$

Нет, там определенный интеграл... И только что доперло, что $\cos{0} = 1$. Спасибо!

Ms-dos4 в сообщении #749265 писал(а):

2)Как раз что бы начальное отклонение было 0,
$\[y(0) = - \frac{{l{U_0}}}{{d \cdot \omega }}\sqrt {\frac{{2e}}{{{m_e}U}}} + {\rm{const}} = 0\]$
, нужно что бы
$\[{\rm{const}} = \frac{{l{U_0}}}{{d \cdot \omega }}\sqrt {\frac{{2e}}{{{m_e}U}}} \]$

Нет, см. выше.

[Ms-dos4]

Если берёте определённый откуда константа то? Там тогда всё само собой получится. Либо берите неопр. и определяете константу. Всё к одному ведёт.

[Phoenix]

Ms-dos4 в сообщении #749270 писал(а):

Если берёте определённый откуда константа то? Там тогда всё само собой получится. Либо берите неопр. и определяете константу. Всё к одному ведёт.

Да, в этом и была моя досадная ошибка.