Аналитическое продолжение

[cherkas]

Как аналитически продолжить преобразование Бесселя-Фурье функции Ханкеля т.е. интеграл $h(q)=\int_0^\infty x H_0^{(1)}(a x)J_0(q x)dx$ на область $\operatorname{Re}(a)<0$. Хотелось бы найти такую $h(q)$, чтобы, например $ \int_0^\infty x H_0^{(1)}(a x)e^{-x^2}dx$ был равен интегралу $\int_0^\infty q\, h(q)\frac{1}{2}\exp(-q^2/4)dq$. Здесь, разумеется, $\frac{1}{2}\exp(-q^2/4)$ есть преобразование Бесселя-Фурье функции $\exp({-x^2})$. Если брать в качестве $h(q)$ функцию $h(q)=\frac{2 i}{\pi}\frac{1}{q^2-a^2}$ то правильный ответ получается только для $\operatorname{Re}(a)>0$. Как построить такую $h(q)$ чтобы интегралы совпадали и при $\operatorname{Re}(a)<0$?

Deggial: формулы поправил. Оформляйте все формулы.