Запись числа

[Terraniux]

Конечно или бесконечно множество таких натуральных чисел, что в их $n$-ичной записи нет ни одного нуля, а в $k$-ичной записи тоже нет ни одного нуля?

[worm2]

Понятно, что если $n$ и $k$ являются степенями одного и итого же числа, то множество бесконечно.
А вот во всех других случаях задача выглядит какой-то обречённой. Даже случай (2, 3) удручает.

[Aritaborian]

Что-то мне подсказывает, что это сводится к какому-то автомату, останов которого непредсказуем. Вывод: проблема не имеет решения.

[Terraniux]

Хм, странно.
А если, например, $n=10$, $k=7$?

[worm2]

Хм... как, оказывается, всё просто, если числа больше двух! Но при $k=2$ всё по-прежнему безнадёжно, имхо.

[Terraniux]

Да, не должны были слишком сложные задачи давать на тургоре, тем более, не последним номером.
А как быть с общим случаем?

[maxal]

Тут есть похожий (и в каком-то смысле более сильный) результат: в статье
P. Erdos, R. L. Graham, I. Z. Russa, E. G. Straus. On the prime factors of C(2n,n), Math. Comp. 29 (1975), 83-92
доказано, что для любых двух нечетных $p$ и $q$ простых сущестествует бесконечно много чисел, у которых все $p$-ичные цифры меньше $\tfrac{p}{2}$, а все $q$-ичные цифры меньше $\tfrac{q}{2}$.