Перестановки Профессора Снэйпа

[mihiv]

В одной из своих задач Профессор Снэйп рассматривал перестановки $s(a)$ элементов абелевой группы, такие, что $t(a)=a+s(a)$ также является перестановкой (a-элемент группы).Так, например, для группы $A_1=Z_2\oplus Z_2\oplus Z_2$ существует перестановка:

$$\begin {array}{ccc} a&s(a)&a+s(a)\\(0,0,0)&(0,0,0)&(0,0,0)\\(0,0,1)&(0,1,1)&(0,1,0)\\(0,1,0)&(1,1,0)&(1,0,0)\\(0,1,1)&(1,0,1)&(1,1,0)\\(1,0,0)&(1,1,1)&(0,1,1)\\(1,0,1)&(1,0,0)&(0,0,1)\\(1,1,0)&(0,0,1)&(1,1,1)\\(1,1,1)&(0,1,0)&(1,0,1)\end {array}$$

1. Без помощи компьютера найти перестановку для группы $A_2=Z_2\oplus Z_2\oplus Z_4$.
2. Доказать, что перестановка $s(a)$ существует для всех групп $A_n=Z_2\oplus Z_2\oplus Z_{2^n}$.