2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходится ли ряд?
Сообщение23.07.2013, 11:09 
Аватара пользователя
Пусть $D_n$ есть количество цифр в десятичной записи числа $$n^n$$
Сходится ли следующий ряд? $$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{D_n}$$

 
 
 
 Re: Сходится ли ряд?
Сообщение23.07.2013, 11:23 
Логарифм попробуйте оценить стандартными неравенствами. А десятичный логарифм связан с числом цифр в числе...

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение23.07.2013, 11:23 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Юзайте интегральный признак сходимости.

 
 
 
 Re: Сходится ли ряд?
Сообщение23.07.2013, 11:30 
Аватара пользователя
sergei1961 в сообщении #748542 писал(а):
Логарифм попробуйте оценить стандартными неравенствами. А десятичный логарифм связан с числом цифр в числе...

Вроде, как-то так: $$D_n=\lfloor \dfrac{n\cdot \log(n)}{\log(10)}\rfloor + 1$$

 
 
 
 Re: Сходится ли ряд?
Сообщение23.07.2013, 11:54 
Ну да, поэтому
$$
\sum \frac{1}{D_n}>c\sum \frac{1}{n\ln n}
$$
ну и юзайте как Вам посоветовали этот самый признак...

 
 
 
 Re: Сходится ли ряд?
Сообщение23.07.2013, 12:05 
Не решал. Но на первый взгляд здесь ряд не зависит от того что $ D_n$ означает. Поэтому и предел будет стандартны,- или равный $ e. $ (Возможно, я и ошибаюсь).

 
 
 
 Re: Сходится ли ряд?
Сообщение23.07.2013, 12:17 
Аватара пользователя
timots
Да, так и есть, Вы ошибаетесь

$$\int\limits_{2}^{+\infty}{\frac{1}{x\ln x}dx}=\int\limits_{\ln 2}^{+\infty}{\frac{1}{t}dt} $$

 
 
 
 Re: Сходится ли ряд?
Сообщение24.07.2013, 01:00 
cool.phenon в сообщении #748559 писал(а):
timots
Да, так и есть, Вы ошибаетесь

$$\int\limits_{2}^{+\infty}{\frac{1}{x\ln x}dx}=\int\limits_{\ln 2}^{+\infty}{\frac{1}{t}dt} $$


или проще, $\int{\frac{1}{x\ln x}dx}=\ln\ln x+c$ :wink:

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group