natural number

[ertyu]

If $R,S,K,M$ natural number

$R^2 + 1 = S.K , K^2 + 1 = R.M $

prove

$S = 3 R - K , M = 3 K - R$

[nnosipov]

А, числа Фибоначчи. Известный сюжет.

[Dave]

Пусть $X=\frac {R^2+K^2+1} {RK}$. Т.к. $X=SM-RK$, то $X \in \mathbb N$. Кроме этого, $S=XR-K$ и $M=XK-R$. Ясно, что $R=K$ может быть только при $R=K=1$. Поэтому, если, к примеру $R<K$, то $S=\frac {R^2+1} K \le R$. Значит мы можем осуществить переход $(R,K) \to (S,R)$, сохраняющий все свойства $R$ и $K$, в частности, значение $X$, но уменьшающий одно из чисел в паре. Повторяя этот процесс, мы неминуемо придём к паре $(1,1)$, для которой $X=3$.

[Dave]

nnosipov в сообщении #748417 писал(а):

А, числа Фибоначчи. Известный сюжет.

Только для чисел Фибоначчи там один минус должен быть, а другой плюс, например $R^2+1=SK$, $K^2-1=RM$.

А вот такой "сюжет" в дополнение. Пусть $t>1$ - натуральное число. Определим функцию $f(n)$ как

$$f(n)=\sum_{2i+j=n}{C_{i+j}^i(-1)^it^j},$$

где суммирование идёт по всем парам целых чисел $i$ и $j$, удовлетворяющим указанному условию. Докажите, что если $n$-любое натуральное число, а $x=f(n-1)$, $y=f(n)$, то числа

$$\frac {x^2-1} y \quad \text{и} \quad \frac {y^2-1} x$$

целые.

[nnosipov]

Dave в сообщении #748724 писал(а):

Только для чисел Фибоначчи там один минус должен быть, а другой плюс, например $R^2+1=SK$, $K^2-1=RM$.

Нет, в этом случае будет что попало, а числа Фибоначчи (идущие через один) будут, когда оба плюса.

Вообще, всё это сводится к исследованию уравнений $x^2+y^2+1=kxy$, $x^2-y^2+1=kxy$ и $x^2+y^2-1=kxy$.

[Dave]

nnosipov в сообщении #748804 писал(а):

Dave в сообщении #748724 писал(а):

Только для чисел Фибоначчи там один минус должен быть, а другой плюс, например $R^2+1=SK$, $K^2-1=RM$.

Нет, в этом случае будет что попало, а числа Фибоначчи (идущие через один) будут, когда оба плюса.

А, через один - это другое дело. Я имел ввиду, что мы можем взять любые два соседних числа Фибоначчи и, воспользовавшись тождеством $F_n^2+(-1)^n=F_{n-1}F_{n+1}$, получить делимость, когда там один плюс, а один минус. Хотя, конечно, будут и другие пары решений. $(3,10)$, например.