идеал матричного кольца

[spyphy]

Как доказать, что если $J$ $-$ идеал (двусторонний) полного матричного кольца $M_n(R)$ ($R$ $-$ ассоциативное кольцо с единицей, не обязательно коммутативное), то $J$ имеет вид $J=M_n(L)$, где $L \subseteq R$ (т.е. некоторое подмножество в $R$).
Если конечно это верно. Интуитивно это кажется понятным, так как при умножении матриц $A \in J$ на матричные единицы $e_{ij}$ (слева/справа) элементы из $A$ сдвигаются по строкам/столбцам. Но при попытке записать это нормальным строгим языком возникают трудности.
Мне это нужно для того, чтобы показать, что если $K -$ поле, то $M_n(K) - $ простое. Но может есть другие пути доказательства этого известного факта?

[patzer2097]

spyphy в сообщении #747766 писал(а):

Мне это нужно для того, чтобы показать, что если $K -$ поле, то $M_n(K) - $ простое. Но может есть другие пути доказательства этого известного факта?

Конечно есть

Если матрица $M$ принадлежит идеалу $I$ кольца матриц и какой-то ее элемент $M_{ij}=m$ отличен от нуля, то матрица $E_{p i}ME_{jq}=mE_{pq}$ принадлежит $I$, при любых $p$ и $q$

[spyphy]

Ага точно. У меня такая мысль была, но потом уперся в то, что не обязательно $M=m E_{ij}$, т.е. в общем случае надо брать что-то вроде

$M = \sum\limits_{kl} M_{kl}E_{kl} = mE_{ij} + \sum\limits_{k \neq i ~\text{и}~ l \neq j} M_{kl}E_{kl}, ~~ m=M_{ij}$ (кажется, сейчас получилось это записать более-менее по-человечески).

Сейчас понятно, что всё равно $E_{pi} M E_{jq} = m E_{pq}$ и значит вроде получается. Спасибо за помощь.