Наибольшее произведение

[Terraniux]

(Оффтоп)

Вроде нормальную (несложную) задачу придумал на днях.

Число $\frac{2013!}{\left(m!\right)^n}$ является целым. Найдите такую пару $\{m,\ n\}, \ m>1$, что произведение $mn$ будет наибольшим.

[mihiv]

Если $m\geqslant 4$, то показатель, с которым 2 входит в разложение числа $m!$ на простые множители равен $\nu _2(m)= [\frac m2]+[\frac m4]+\dots>\frac m2$.

Так как $\nu _2(2013)=[\frac {2013}2]+[\frac {2013}4]\dots=2004$, то должно выполняться неравенство $2004\geqslant n\nu _2(m)>n\frac m2$. Отсюда $nm<4008$,при $m\geqslant 4$.
С другой стороны при $m=2$ мы можем взять $n=2004$ и получить $nm=4008$.
Если же $m=3$, то, так как $\nu _3(2013)=1002$, получим, что максимальное значение $nm$(при $m=3$) равно $3\cdot 1002=3006<4008$.

Следовательно, максимально возможное значение $nm$, равное 4008, достигается при $m=2,n=2004$.